12.（不定项选择题，10.0分）现有三枚硬币，投掷时正面朝上的概率分别0.3，0.4，0.5.将这三枚硬币随机排序，依次投掷，记第i次投掷正面朝上为A_(i)，i=1，2，3，则A P(A₂)=0.4B P(A₂|A₁)≤0.4C P(A₂|A₁)≥0.4D P(A₁)=0.4

本题主要考查了概率的基本计算，包括全概率公式、条件概率公式的应用。解题的关键在于理解随机排序的含义，利用全概率公式计算单次投掷正面朝上的概率，再通过条件概率公式计算在第一次投掷为正面的条件下第二次投掷为正面的概率。

A选项分析

设三枚硬币正面朝上的概率分别为$p_1 = 0.3$，$p_2 = 0.4$，$p_3 = 0.5$。
因为三枚硬币随机排序，所以第$2$次投掷每一枚硬币的概率均为$\frac{1}{3}$。
根据全概率公式$P(A_2)=\sum_{i = 1}^{3}P(第2次投第i枚硬币)P(第i枚硬币正面朝上)$，可得：
$P(A_2)=\frac{1}{3}p_1+\frac{1}{3}p_2+\frac{1}{3}p_3=\frac{1}{3}\times(0.3 + 0.4 + 0.5)=\frac{1.2}{3}=0.4$
所以A选项正确。

B选项分析

首先，由A选项可知$P(A_1) = 0.4$。
然后求$P(A_1\cap A_2)$，即两次均正面朝上的概率。
三枚硬币的所有排列情况有$A_{3}^3=\frac{3!}{(3 - 3)!}=3\times2\times1 = 6$种。
分别计算每种排列下两次都正面朝上的概率：

• 若顺序为$p_1,p_2,p_3$，则$P_1=p_1p_2 = 0.3\times0.4 = 0.12$；
• 若顺序为$p_1,p_3,p_2$，则$P_2=p_1p_3 = 0.3\times0.5 = 0.15$；
• 若顺序为$p_2,p_1,p_3$，则$P_3=p_2p_1 = 0.4\times0.3 = 0.12$；
• 若顺序为$p_2,p_3,p_1$，则$P_4=p_2p_3 = 0.4\times0.5 = 0.2$；
• 若顺序为$p_3,p_1,p_2$，则$P_5=p_3p_1 = 0.5\times0.3 = 0.15$；
• 若顺序为$p_3,p_2,p_1$，则$P_6=p_3p_2 = 0.5\times0.4 = 0.2$。

因为每种排列的概率为$\frac{1}{6}$，所以$P(A_1\cap A_2)=\frac{1}{6}(P_1 + P_2 + P_3 + P_4 + P_5 + P_6)$
$=\frac{1}{6}(0.12 + 0.15 + 0.12 + 0.2 + 0.15 + 0.2)=\frac{0.94}{6}=\frac{47}{300}$。

根据条件概率公式$P(A_2|A_1)=\frac{P(A_1\cap A_2)}{P(A_1)}$，可得：
$P(A_2|A_1)=\frac{\frac{47}{300}}{0.4}=\frac{47}{300}\times\frac{10}{4}=\frac{47}{120}\approx0.3917\lt{}0.4$
所以$P(A_2|A_1)\leq0.4$，B选项正确。

C选项分析

由B选项计算结果可知$P(A_2|A_1)\approx0.3917\lt{}0.4$，不满足$P(A_2|A_1)\geq0.4$，所以C选项错误。

D选项分析

同A选项，根据全概率公式可得$P(A_1)=\frac{1}{3}p_1+\frac{1}{3}p_2+\frac{1}{3}p_3=\frac{1}{3}\times(0.3 + 0.4 + 0.5)=0.4$
所以D选项正确。