若A、B都是n阶矩阵，且A·B=0，则A的秩A. 正确B. 错误

考查要点：本题主要考查矩阵乘积为零矩阵时，矩阵秩的性质，以及秩-零化度定理的应用。

解题核心思路：

1. 矩阵乘积为零的含义：若$A \cdot B = 0$，则$B$的每一列均为齐次方程组$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$的解，即$B$的列向量属于$A$的零空间。
2. 秩-零化度定理：$\text{秩}(A) + \text{零化度}(A) = n$。若$A$的零空间非平凡（即存在非零向量），则$\text{秩}(A) < n$。
3. 关键例外：若$B$本身为零矩阵，则无论$A$是否满秩，$A \cdot B = 0$均成立，此时结论不成立。

破题关键：

• 明确$B$是否为零矩阵：题目未限制$B \neq 0$，因此需考虑$B = 0$的情况。
• 反例验证：通过构造$A$为满秩矩阵（如单位矩阵）且$B = 0$，说明原命题不成立。

步骤1：分析矩阵乘积为零的条件

若$A \cdot B = 0$，则$B$的每一列均为$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$的解，即$B$的列向量属于$A$的零空间。若$B \neq 0$，则$A$的零空间维数（零化度）至少为1，根据秩-零化度定理，$\text{秩}(A) \leq n - 1$，即$\text{秩}(A) < n$。

步骤2：考虑$B = 0$的特殊情况

若$B = 0$，则无论$A$是否为满秩矩阵，均有$A \cdot B = 0$。例如，取$A$为$n$阶单位矩阵$I$，此时$\text{秩}(A) = n$，但$I \cdot 0 = 0$，满足条件。此时结论$\text{秩}(A) < n$不成立。

步骤3：综合判断

由于题目未限制$B \neq 0$，存在$B = 0$的情况使得结论不成立，因此原命题错误。