二、填空题10.写出与45°角的终边相同的角的集合是_
题目解答
答案
与 $45^\circ$ 角的终边相同的角的集合可表示为：
$\{ \alpha \mid \alpha = 45^\circ + k \cdot 360^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$
或等价表示为：
$\{ \alpha \mid \alpha = k \cdot 360^\circ + 45^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$
其中 $k$ 为任意整数，表示在 $45^\circ$ 的基础上加上或减去任意整数倍的 $360^\circ$。
答案：
$\boxed{\{ \alpha \mid \alpha = k \cdot 360^\circ + 45^\circ, k \in \mathbb{Z} \}}$
解析
本题考查终边相同的角的集合的表示方法。解题思路是根据终边相同的角的性质来确定集合的表达式。
在平面直角坐标系中，角的终边绕原点旋转整数圈后会与原来的终边重合。一圈为$360^{\circ}$，所以与一个角$\beta$终边相同的角可以表示为$\beta + k\cdot360^{\circ}$（$k\in\mathbb{Z}$），其中$k$为整数，当$k\gt0$时，表示按逆时针方向旋转；当$k\lt0$时，表示按顺时针方向旋转；当$k = 0$时，就是角$\beta$本身。
对于本题，已知角为$45^{\circ}$，那么与$45^{\circ}$角的终边相同的角$\alpha$就可以表示为$\alpha = 45^{\circ}+k\cdot360^{\circ}$，$k\in\mathbb{Z}$，通常也写成$\alpha = k\cdot360^{\circ}+ 45^{\circ}$，$k\in\mathbb{Z}$的形式。