一个布袋内放有100个球，其中80个球是红色的，20个球是白色的， 问：若每次摸出一个球后又放回袋中，再进行下一次的摸取，那么如此摸取n次后，求平均摸取一次所能获得的自信息量为_______比特/次(小数点后保留两位)

本题考查信息论中自信息量和平均自信息量的计算。解题的关键在于先根据球的数量计算出摸到红球和白球的概率，再利用自信息量公式分别算出摸到红球和白球的自信息量，最后根据平均自信息量的定义求出结果。

步骤一：计算摸到红球和白球的概率

已知布袋内共有$100$个球，其中$80$个红球，$20$个白球。
根据古典概型概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$（其中$P(A)$表示事件$A$发生的概率，$m$表示事件$A$包含的基本事件个数，$n$表示基本事件的总数），可得摸到红球的概率$P(红)=\frac{80}{100}=0.8$，摸到白球的概率$P(白)=\frac{20}{100}=0.2$。

步骤二：计算摸到红球和白球的自信息量

自信息量的计算公式为$I(x)=-\log_2P(x)$（其中$I(x)$表示事件$x$发生的自信息量，$P(x)$表示事件$x$发生的概率）。

• 摸到红球的自信息量$I(红)=-\log_2P(红)=-\log_20.8$。
• 摸到白球的自信息量$I(白)=-\log_2P(白)=-\log_20.2$。

步骤三：计算平均自信息量

平均自信息量（信息熵）的计算公式为$H(X)=-\sum_{i}P(x_i)\log_2P(x_i)$（其中$H(X)$表示信源$X$的信息熵，$P(x_i)$表示信源$X$取第$i$个符号的概率）。
在本题中，信源只有摸到红球和白球两种情况，所以平均自信息量$H(X)=P(红)I(红)+P(白)I(白)$，将$P(红)=0.8$，$P(白)=0.2$，$I(红)=-\log_20.8$，$I(白)=-\log_20.2$代入可得：
$\begin{align*}H(X)&=0.8\times(-\log_20.8)+0.2\times(-\log_20.2)\\&=0.8\times\log_2\frac{1}{0.8}+0.2\times\log_2\frac{1}{0.2}\\&=0.8\times\log_21.25 + 0.2\times\log_25\\&\approx0.8\times0.3219 + 0.2\times2.3219\\&=0.25752+0.46438\\&=0.7219\\&\approx0.72\end{align*}$