题目
若f(x)在[a,b ]上连续, lt (x)_(1)lt (x)_(2)lt ... lt (x)_(n)lt b(ngeqslant 3), 则在(x1,xn)内-|||-至少有一点ξ,使 (xi )=dfrac (f({x)_(1))+f((x)_(2))+... +f((x)_(n))}(n)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定函数的连续性
由于f(x)在[a,b]上连续，且 $[ {x}_{1},{x}_{n}] \in [ a,b] $ ，所以f(x)在[x1,xn]上也连续。
步骤 2：确定函数的最大值和最小值
设 $M=max\{ f(x)|{x}_{1}\leqslant x\leqslant {x}_{n}\} $ ，$m=min\{ f(x)|{x}_{1}\leqslant x\leqslant {x}_{n}\} $ ，则有 $m\leqslant f(x)\leqslant M$ 对于所有 $x\in [ {x}_{1},{x}_{n}]$ 成立。
步骤 3：计算平均值
考虑平均值 $\dfrac {f({x}_{1})+f({x}_{2})+\cdots +f({x}_{n})}{n}$ ，由于 $m\leqslant f(x_{i})\leqslant M$ 对于所有 $i=1,2,\cdots,n$ 成立，所以有 $m\leqslant \dfrac {f({x}_{1})+f({x}_{2})+\cdots +f({x}_{n})}{n}\leqslant M$ 。
步骤 4：应用介值定理
由于f(x)在[x1,xn]上连续，且 $\dfrac {f({x}_{1})+f({x}_{2})+\cdots +f({x}_{n})}{n}$ 介于m和M之间，根据介值定理，存在 $\xi \in ({x}_{1},{x}_{n})$ ，使得 $f(\xi )=\dfrac {f({x}_{1})+f({x}_{2})+\cdots +f({x}_{n})}{n}$ 。
由于f(x)在[a,b]上连续，且 $[ {x}_{1},{x}_{n}] \in [ a,b] $ ，所以f(x)在[x1,xn]上也连续。
步骤 2：确定函数的最大值和最小值
设 $M=max\{ f(x)|{x}_{1}\leqslant x\leqslant {x}_{n}\} $ ，$m=min\{ f(x)|{x}_{1}\leqslant x\leqslant {x}_{n}\} $ ，则有 $m\leqslant f(x)\leqslant M$ 对于所有 $x\in [ {x}_{1},{x}_{n}]$ 成立。
步骤 3：计算平均值
考虑平均值 $\dfrac {f({x}_{1})+f({x}_{2})+\cdots +f({x}_{n})}{n}$ ，由于 $m\leqslant f(x_{i})\leqslant M$ 对于所有 $i=1,2,\cdots,n$ 成立，所以有 $m\leqslant \dfrac {f({x}_{1})+f({x}_{2})+\cdots +f({x}_{n})}{n}\leqslant M$ 。
步骤 4：应用介值定理
由于f(x)在[x1,xn]上连续，且 $\dfrac {f({x}_{1})+f({x}_{2})+\cdots +f({x}_{n})}{n}$ 介于m和M之间，根据介值定理，存在 $\xi \in ({x}_{1},{x}_{n})$ ，使得 $f(\xi )=\dfrac {f({x}_{1})+f({x}_{2})+\cdots +f({x}_{n})}{n}$ 。