四、解答题1.求一阶线性微分方程(dy)/(dx)+y=e^-x的通解.

考查要点：本题主要考查一阶线性微分方程的解法，核心是积分因子法的应用。
解题思路：将方程转化为标准形式后，通过构造积分因子，将方程左边转化为某个函数的导数，从而直接积分求解。
关键点：

1. 识别方程形式：确认方程为一阶线性微分方程，即形如$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$。
2. 计算积分因子：$\mu(x) = e^{\int P(x) dx}$，此处$P(x)=1$，故积分因子为$e^x$。
3. 方程变形与积分：利用积分因子将方程左边转化为全导数形式，再对两边积分。

步骤1：确定积分因子
原方程为$\frac{dy}{dx} + y = e^{-x}$，其中$P(x)=1$，$Q(x)=e^{-x}$。
积分因子为：
$\mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int 1 dx} = e^{x}.$

步骤2：方程两边乘以积分因子
两边同乘$e^x$，得：
$e^x \frac{dy}{dx} + e^x y = e^x \cdot e^{-x} = 1.$

步骤3：构造全导数形式
观察左边可化简为：
$\frac{d}{dx}(e^x y) = 1.$

步骤4：积分求解
对两边积分：
$\int \frac{d}{dx}(e^x y) dx = \int 1 dx \implies e^x y = x + C,$
其中$C$为积分常数。

步骤5：解出$y$
两边同乘$e^{-x}$，得通解：
$y = e^{-x}(x + C).$