求指导本题解题过程，谢谢您！1、下列选项中,是微分方程 '+xy=(e)^-dfrac ({x^2)(2)} 的解的是 ()-|||-A: =(e)^-dfrac ({x^2)(2)} B: =x(e)^-dfrac ({x^2)(2)} C: =(e)^dfrac ({x^2)(2)} D: =x(e)^2

本题考查一阶线性非齐次微分方程的求解及验证。解题思路是先判断给定的微分方程为一阶线性非齐次微分方程，然后使用一阶线性非齐次微分方程的通解公式求出通解，最后将通解进行化简并与各个选项进行对比。

步骤一：判断方程类型

给定的微分方程$y'+xy = e^{-\frac{x^{2}}{2}}$是一阶线性非齐次微分方程，其标准形式为$y'+P(x)y = Q(x)$，其中$P(x)=x$，$Q(x)=e^{-\frac{x^{2}}{2}}$。

步骤二：求一阶线性非齐次微分方程的通解

一阶线性非齐次微分方程$y'+P(x)y = Q(x)$的通解公式为$y = e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C)$。

• 先计算$e^{\int P(x)dx}$：
  已知$P(x)=x$，则$\int P(x)dx=\int xdx=\frac{1}{2}x^{2}$，所以$e^{\int P(x)dx}=e^{\frac{1}{2}x^{2}}$。
• 再计算$e^{-\int P(x)dx}$：
  $e^{-\int P(x)dx}=e^{-\frac{1}{2}x^{2}}$。
• 然后计算$\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx$：
  将$Q(x)=e^{-\frac{x^{2}}{2}}$和$e^{\int P(x)dx}=e^{\frac{1}{2}x^{2}}$代入可得：
  $\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx=\int e^{-\frac{x^{2}}{2}}\cdot e^{\frac{1}{2}x^{2}}dx=\int 1dx=x$。
• 最后得到通解$y$：
  将上述结果代入通解公式可得$y = e^{-\frac{1}{2}x^{2}}(x + C)$。

步骤三：确定特解

当$C = 0$时，$y = xe^{-\frac{x^{2}}{2}}$，与选项B一致。