单选题（共20题，100.0分）2.（5.0分）当x→0时，下列函数中θ为无穷小量。A e^(1)/(x)B (sin x)/(x)C ln xD xcosx
题目解答
答案
当 $x \to 0$ 时，分析各选项的极限：
A. $e^{\frac{1}{x}}$：
- 当 $x \to 0^+$ 时，$\frac{1}{x} \to +\infty$，$e^{\frac{1}{x}} \to +\infty$；
- 当 $x \to 0^-$ 时，$\frac{1}{x} \to -\infty$，$e^{\frac{1}{x}} \to 0$。
极限不唯一，非无穷小量。
B. $\frac{\sin x}{x}$：
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，极限为1，非无穷小量。
C. $\ln x$：
$\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$，极限为负无穷，非无穷小量。
D. $x \cos x$：
$\lim_{x \to 0} x \cos x = 0 \times 1 = 0$，极限为0，为无穷小量。
答案： $\boxed{D}$
解析
本题考查无穷小量的概念，解题的关键在于判断当$x\to0$时，各选项函数的极限是否为$0$。若极限为$0$，则该函数为无穷小量。
选项A
对于函数$y = e^{\frac{1}{x}}$，需要分别考虑$x$从左侧趋近于$0$（即$x\to0^-$）和从右侧趋近于$0$（即$x\to0^+$）时函数的极限情况：
- 当$x\to0^+$时，$\frac{1}{x}\to +\infty$，根据指数函数的性质，$y = e^u$在$u\to +\infty$时，$e^u\to +\infty$，所以$\lim\limits_{x\to0^+}e^{\frac{1}{x}} = +\infty$。
- 当$x\to0^-$时，$\frac{1}{x}\to -\infty$，根据指数函数的性质，$y = e^u$在$u\to -\infty$时，$e^u\to 0$，所以$\lim\limits_{x\to0^-}e^{\frac{1}{x}} = 0$。
由于$\lim\limits_{x\to0^+}e^{\frac{1}{x}}\neq\lim\limits_{x\to0^-}e^{\frac{1}{x}}$，所以$\lim\limits_{x\to0}e^{\frac{1}{x}}$不存在，该函数不是无穷小量。
选项B
对于函数$y = \frac{\sin x}{x}$，根据重要极限公式$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x} = 1$，可知该函数的极限为$1$，不是无穷小量。
选项C
对于函数$y = \ln x$，其定义域为$(0, +\infty)$，所以只考虑$x\to0^+$的情况。根据对数函数的性质，当$x\to0^+$时，$\ln x\to -\infty$，极限为负无穷，不是无穷小量。
选项D
对于函数$y = x\cos x$，根据极限的乘法法则$\lim\limits_{x\to a}[f(x)g(x)] = \lim\limits_{x\to a}f(x)\cdot\lim\limits_{x\to a}g(x)$（前提是$\lim\limits_{x\to a}f(x)$和$\lim\limits_{x\to a}g(x)$都存在），可得：
$\lim\limits_{x\to0}x\cos x = \lim\limits_{x\to0}x\cdot\lim\limits_{x\to0}\cos x$
因为$\lim\limits_{x\to0}x = 0$，$\lim\limits_{x\to0}\cos x = \cos 0 = 1$，所以$\lim\limits_{x\to0}x\cos x = 0\times1 = 0$，该函数是无穷小量。