题目

7.(2021·新高考全国I)记 Delta ABC 的内角A,B,C的对边-|||-分别为a,b,c.已知 ^2=ac, 点D在边AC上,-|||-sin angle ABC=asin C.-|||-(1)证明: =b;-|||-(2)若 =2DC, 求 cos angle ABC.-|||-........................-.-|||-__-|||-....................................................................-|||-__-|||-.........................................................................-|||-__-|||-........-|||-__-|||-......................................................................................-|||-__-|||-..................................-|||-..........................................................................-|||-....................................................................................

题目解答

答案

解析

题目考察知识和解题思路

本题主要考察正弦定理、余弦定理以及三角形中的平行关系转化，具体思路如下：

（1）证明 $BD = b$

关键分析

已知 $BD\sin\angle ABC = a\sin C$，需结合正弦定理转化边与角的关系，并利用 $b^2 = ac$ 证明 $BD = b$。

步骤

  1. 正弦定理转化：在 $\Delta ABC ABC$ 中，由正弦定理 $\frac{a}{\sinC}{sinA} = b$，得 $asinC = bsinA$。但更直接的是，$\sin\angle ABC = sinB$，故原式 $BD\cdot sinB = asinC$。
  2. 结合 $b^2 = ac$：由正弦定理 $\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC} = 2R$，得 $asinC = bsinA \cdot \frac{c}{b}$？不，更简单：$asinC = bsinA$ 吗？不，$\frac{a}{sinA} = \frac{c}{sinC} \Rightarrow asinC = csinA$，但这里用 $sinB = \frac{b}{2R}$，$1)中直接用 \( sin\angle ABC = \frac{b}{2R} \cdot 2R？不，看答案：\( BD\cdot sin\angle ABC = a sinC$，左边 $BD\cdot b/(2R)$，右边 $a sinC = a \frac{a}{2R}\cdot 2R sinC = \frac{a}{2R}\cdot c$（因为 $c = 2R sinC \cdot 2$），所以 $BD\cdot b = a c$（两边乘2R），而 $b²=ac$，故 $BD\cdot b = b² \Rightarrow BD = b$。

（2）求 $\cos\angle ABC$

关键分析

已知 $AD=2DC$，通过作平行线 $DE\parallel BC$ 构造 $\Delta BED$，利用余弦定理建立 $\cos\angle BED$ 与 $\cos\angle ABC$ 的关系（$\angle BED = \pi - \angle ABC$，故 $\cos\angle BED = -\cos\angleABC$，求解方程得 $\cos\angle ABC$。

步骤

  1. 平行线转化线段比：作 $DE\parallel BC$ 交 $AB$ 于 $E$，则 $\frac{AE}{EB} = \frac{AD}{DC} = 2$，故 $EB = \frac{c}{3}$，$DE = \frac{2a}{3}$（$AB = c, BC = a$）。
  2. 余弦定理在 $\Delta BED$ 中：$\cos\angle BED = \frac{BE² + DE² - BD²}{2BE·DE}$，代入 $BE = \frac{c}{3}, DE = \frac{2a}{3}, BD = b$，得：
    [
    \cos\angle BED = \frac{(\frac{c}{3})² + (\frac{2a}{3})² - b²}{2·\frac{c}{3}·\frac{2a}{3}} = \frac{c² + 4a² - 9b²}{4ac}
    \
  3. 余弦定理在 $\Delta ABC$中：$\cos\angle ABC = \frac{c² + a² - b²}{2ac} = \frac{c² + a² - ac}{2ac}$（因 $b² = ac$）。
  4. 关系转化：$\cos\angle BED = -\cos\angle ABC$，代入得方程：
    \
    \frac{c² + 4a² - 9ac}{4ac} = -\frac{c² + a² - ac}{2ac}
    \
    化简得 $3c² + 6a² - 11ac = 0$，设 $t = \frac{c}{a}$，则 $3t² - 11t + 6 = 0$，解得 $t = 3$（舍去，$\cos>1$）或 $t = \frac{2}{3}$。
  5. 计算 $\cos\angle ABC$：代入 $c = \frac \$的可编程只读存储器，$\cos\angle ABC = \frac{(\frac{2a}{3})² + a² - a·\MEMORY}{\MEMORY} = \frac{7}{12}$。