设平面点集 E=(x,y)|1A. E 是闭集、无界集B. E 是开集、有界集C. E 既不是开集也不是闭集、无界集D. E 的边界为 (x,y)|x^2+(y-1)^2=1, x^2+(y-1)^2=4

本题考查平面点集的开集、闭集、有界集、无界集以及边界的概念。解题思路是根据这些概念的定义，结合给定的平面点集$E$的表达式进行分析判断。

1. 判断集合$E$是否为开集或闭集

• 开集的定义：如果集合$E$内的每一个点都是内点，即对于任意$(x_0,y_0)\in E$，都存在一个以$(x_0,y_0)$为中心的邻域$U((x_0,y_0),\delta)$，使得$U((x_0,y_0),\delta)\subseteq E$，则称$E$为开集。
• 闭集的定义：如果集合$E$的补集$E^c$是开集，则称$E$为闭集。

对于集合$E =\{(x,y)|1 \lt x^2+(y - 1)^2\leq4\}$，考虑边界点$(x,y)$满足$x^2+(y - 1)^2 = 1$，对于这些点，无论邻域半径$\delta$取得多么小，邻域内总会有不在集合$E$中的点，所以集合$E$不是开集。

再看集合$E$的补集$E^c=\{(x,y)|x^2+(y - 1)^2\leq1\}\cup\{(x,y)|x^2+(y - 1)^2\gt{}4\}$，对于$E^c$中满足$x^2+(y - 1)^2 = 1$的点，同样无论邻域半径$\delta$取得多么小，邻域内总会有不在集合$E^c$中的点，即$E^c$不是开集，所以集合$E$不是闭集。

2. 判断集合$E$是否为有界集或无界集

• 有界集的定义：如果存在一个正数$M$，使得对于任意$(x,y)\in E$，都有$\sqrt{(x - 0)^2+(y - 0)^2}\leq M$，则称$E$为有界集；否则称为无界集。

对于集合$E$中的点$(x,y)$，满足$1 \lt x^2+(y - 1)^2\leq4$，我们可以通过分析点到原点的距离来判断有界性。
由$x^2+(y - 1)^2\leq4$可得$x^2+y^2-2y + 1\leq4$，即$x^2+y^2\leq3 + 2y$。
根据均值不等式$y^2\leq x^2+y^2$，我们可以找到一个合适的$M$来界定集合$E$。
实际上，集合$E$中的点都在以$(0,1)$为圆心，半径$r_1 = 1$和$r_2 = 2$的两个圆所夹的圆环区域内（不包含内圆边界），所以存在一个足够大的正数$M$，使得集合$E$中的所有点到原点的距离都小于$M$，因此集合$E$是有界集。

3. 求集合$E$的边界

• 边界的定义：设$E$是平面上的一个点集，$P$是平面上的一个点，如果点$P$的任意邻域内既含有属于$E$的点，又含有不属于$E$的点，则称$P$为$E$的边界点，$E$的所有边界点构成的集合称为$E$的边界。

对于集合$E =\{(x,y)|1 \lt x^2+(y - 1)^2\leq4\}$，满足$x^2+(y - 1)^2 = 1$和$x^2+(y - 1)^2 = 4$的点的任意邻域内既含有属于$E$的点，又含有不属于$E$的点，所以集合$E$的边界为$\{(x,y)|x^2+(y - 1)^2 = 1,x^2+(y - 1)^2 = 4\}$。