题目
设 A^* 为 n 阶方阵 (n geq 2)A 的伴随矩阵,则().A. 若 A 的秩为 1,则 A^* 的秩也有为 1B. 若 A 的秩为 n-1,则 A^* 的秩也为 n-1C. 若 A 为满秩方阵,则 A^* 也是满秩方阵D. 若 A 为非零矩阵,则 A^* 也就是非零矩阵
设 $A^*$ 为 $n$ 阶方阵 ($n \geq 2$)$A$ 的伴随矩阵,则().
A. 若 $A$ 的秩为 1,则 $A^*$ 的秩也有为 1
B. 若 $A$ 的秩为 $n-1$,则 $A^*$ 的秩也为 $n-1$
C. 若 $A$ 为满秩方阵,则 $A^*$ 也是满秩方阵
D. 若 $A$ 为非零矩阵,则 $A^*$ 也就是非零矩阵
题目解答
答案
C. 若 $A$ 为满秩方阵,则 $A^*$ 也是满秩方阵
解析
步骤 1：分析选项A
若 $A$ 的秩为 1，即 $\text{rank}(A) = 1$，则 $A$ 的行列式为 0，且 $A$ 的所有 $n-1$ 阶子式也均为 0。因此，$A^*$ 的所有元素均为 0，即 $A^*$ 为零矩阵，其秩为 0。所以选项A错误。
步骤 2：分析选项B
若 $A$ 的秩为 $n-1$，即 $\text{rank}(A) = n-1$，则 $A$ 的行列式为 0，但存在非零的 $n-1$ 阶子式。因此，$A^*$ 的秩为 1。所以选项B错误。
步骤 3：分析选项C
若 $A$ 为满秩方阵，即 $\text{rank}(A) = n$，则 $A$ 的行列式不为 0，且 $A$ 的所有 $n-1$ 阶子式也均不为 0。因此，$A^*$ 的秩也为 $n$，即 $A^*$ 也是满秩方阵。所以选项C正确。
步骤 4：分析选项D
若 $A$ 为非零矩阵，但 $\text{rank}(A) = 1$，则 $A^*$ 为零矩阵。所以选项D错误。
若 $A$ 的秩为 1，即 $\text{rank}(A) = 1$，则 $A$ 的行列式为 0，且 $A$ 的所有 $n-1$ 阶子式也均为 0。因此，$A^*$ 的所有元素均为 0，即 $A^*$ 为零矩阵，其秩为 0。所以选项A错误。
步骤 2：分析选项B
若 $A$ 的秩为 $n-1$，即 $\text{rank}(A) = n-1$，则 $A$ 的行列式为 0，但存在非零的 $n-1$ 阶子式。因此，$A^*$ 的秩为 1。所以选项B错误。
步骤 3：分析选项C
若 $A$ 为满秩方阵，即 $\text{rank}(A) = n$，则 $A$ 的行列式不为 0，且 $A$ 的所有 $n-1$ 阶子式也均不为 0。因此，$A^*$ 的秩也为 $n$，即 $A^*$ 也是满秩方阵。所以选项C正确。
步骤 4：分析选项D
若 $A$ 为非零矩阵，但 $\text{rank}(A) = 1$，则 $A^*$ 为零矩阵。所以选项D错误。