题目
求f(x)= { ,xlt 0 ln (2+x),xgeqslant 0 .的间断点并判断其类型。
求
的间断点并判断其类型。
题目解答
答案
解：
∵
且
∴x=0是f(x)的跳跃间断点
解析
步骤 1：计算x趋向于0+时的极限
$\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}f(x)=\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}\ln (2+x)=\ln 2$
步骤 2：计算x趋向于0-时的极限
$\lim _{x\rightarrow {0}^{-}}f(x)=\lim _{x\rightarrow {0}^{-}}\left(\sin x+\dfrac {\ln (1+x)}{x}\right)$
由于$\lim _{x\rightarrow {0}^{-}}\sin x=0$，且$\lim _{x\rightarrow {0}^{-}}\dfrac {\ln (1+x)}{x}=1$（利用洛必达法则或泰勒展开），所以$\lim _{x\rightarrow {0}^{-}}f(x)=0+1=1$
步骤 3：判断间断点类型
由于$\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}f(x)\neq \lim _{x\rightarrow {0}^{-}}f(x)$，所以x=0是f(x)的跳跃间断点
$\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}f(x)=\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}\ln (2+x)=\ln 2$
步骤 2：计算x趋向于0-时的极限
$\lim _{x\rightarrow {0}^{-}}f(x)=\lim _{x\rightarrow {0}^{-}}\left(\sin x+\dfrac {\ln (1+x)}{x}\right)$
由于$\lim _{x\rightarrow {0}^{-}}\sin x=0$，且$\lim _{x\rightarrow {0}^{-}}\dfrac {\ln (1+x)}{x}=1$（利用洛必达法则或泰勒展开），所以$\lim _{x\rightarrow {0}^{-}}f(x)=0+1=1$
步骤 3：判断间断点类型
由于$\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}f(x)\neq \lim _{x\rightarrow {0}^{-}}f(x)$，所以x=0是f(x)的跳跃间断点