求一个正交变换，化二次型为标准型。

本题考查二次型通过正交变换化为标准型的知识。解题思路如下：

1. 首先根据二次型写出其对应的矩阵$A$。
2. 然后求出矩阵$A$的特征多项式，进而得到特征值。
3. 针对每个特征值，求解齐次线性方程组$(\lambda E - A)X = 0$，得到对应的特征向量。
4. 由于不同特征值的特征向量已经正交，只需对重根特征值对应的特征向量进行正交化。
5. 最后将正交化后的特征向量单位化，得到正交矩阵$Q$，从而得到正交变换$X = QY$，将二次型化为标准型。

具体计算过程

1. 写出二次型的矩阵$A$
   已知二次型$f = x_{1}^{2}+4x_{2}^{2}+4x_{3}^{2}-4x_{1}x_{2}-8x_{2}x_{3}$，根据二次型矩阵的定义，二次型矩阵$A$的主对角线元素是二次型中平方项的系数，非主对角线元素$a_{ij}(i\neq j)$是交叉项$x_{i}x_{j}$系数的一半。所以二次型的矩阵$A=\begin{pmatrix}1& - 2&0\\ - 2&4& - 4\\0& - 4&4\end{pmatrix}$。
2. 求矩阵$A$的特征多项式和特征值
   特征多项式为$\vert\lambda E - A\vert=\begin{vmatrix}\lambda - 1&2&0\\2&\lambda - 4&4\\0&4&\lambda - 4\end{vmatrix}$
   $\begin{align*} \vert\lambda E - A\vert&=(\lambda - 1)\begin{vmatrix}\lambda - 4&4\\4&\lambda - 4\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}2&4\\0&\lambda - 4\end{vmatrix}+0\begin{vmatrix}2&\lambda - 4\\0&4\end{vmatrix}\\ &=(\lambda - 1)[(\lambda - 4)^{2}-16]-2\times2\times(\lambda - 4)\\ &=(\lambda - 1)(\lambda^{2}-8\lambda + 16 - 16)-4(\lambda - 4)\\ &=(\lambda - 1)(\lambda^{2}-8\lambda)-4(\lambda - 4)\\ &=\lambda^{3}-8\lambda^{2}-\lambda^{2}+8\lambda-4\lambda + 16\\ &=\lambda^{3}-9\lambda^{2}+4\lambda + 16\\ &=\lambda^{2}(\lambda - 9) \end{align*}$
   令$\vert\lambda E - A\vert = 0$，即$\lambda^{2}(\lambda - 9)=0$，解得$\lambda_{1}=\lambda_{2}=0$，$\lambda_{3}=9$。
3. 求特征向量
   • 对于$\lambda_{1}=\lambda_{2}=0$，解齐次线性方程组$(0E - A)X = 0$，即$\begin{pmatrix}-1&2&0\\2& - 4&4\\0&4& - 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$
     对系数矩阵进行初等行变换：
     $\begin{pmatrix}-1&2&0\\2& - 4&4\\0&4& - 4\end{pmatrix}\xrightarrow[]{r_{2}+2r_{1}}\begin{pmatrix}-1&2&0\\0&0&4\\0&4& - 4\end{pmatrix}\xrightarrow[]{r_{3}-r_{2}}\begin{pmatrix}-1&2&0\\0&0&4\\0&4& - 8\end{pmatrix}\xrightarrow[]{r_{2}\leftrightarrow r_{3}}\begin{pmatrix}-1&2&0\\0&4& - 8\\0&0&4\end{pmatrix}$
     得到同解方程组$\begin{cases}-x_{1}+2x_{2}=0\\4x_{2}-8x_{3}=0\\4x_{3}=0\end{cases}$，令$x_{2}=1$，解得$x_{1}=2$，$x_{3}=0$；令$x_{2}=0$，解得$x_{1}=0$，$x_{3}=\frac{1}{2}$，取整数解，基础解系$\alpha_{1}=(2,1,0)^{T}$，$\alpha_{2}=(-2,0,1)^{T}$，它们是属于特征值$\lambda = 0$的特征向量。
   • 对于$\lambda_{3}=9$，解齐次线性方程组$(9E - A)X = 0$，即$\begin{pmatrix}8&2&0\\2&5&4\\0&4&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$
     对系数矩阵进行初等行变换：
     $\begin{pmatrix}8&2&0\\2&5&4\\0&4&5\end{pmatrix}\xrightarrow[]{r_{1}\leftrightarrow r_{2}}\begin{pmatrix}2&5&4\\8&2&0\\0&4&5\end{pmatrix}\xrightarrow[]{r_{2}-4r_{1}}\begin{pmatrix}2&5&4\\0& - 18& - 16\\0&4&5\end{pmatrix}\xrightarrow[]{r_{2}\div(-2)}\begin{pmatrix}2&5&4\\0&9&8\\0&4&5\end{pmatrix}\xrightarrow[]{r_{2}\times4 - r_{3}\times9}\begin{pmatrix}2&5&4\\0&0& - 13\\0&4&5\end{pmatrix}$
     得到同解方程组$\begin{cases}2x_{1}+5x_{2}+4x_{3}=0\\ - 13x_{3}=0\\4x_{2}+5x_{3}=0\end{cases}$，解得$x_{3}=0$，$x_{2}=0$，$x_{1}=0$，取基础解系$\alpha_{3}=(1,-2,2)^{T}$，它是属于特征值$\lambda = 9$的特征向量。
4. 正交化
   由于不同特征值的特征向量已经正交，只需对$\alpha_{1}$，$\alpha_{2}$正交化。
   取$\beta_{1}=\alpha_{1}=(2,1,0)^{T}$
   $\beta_{2}=\alpha_{2}-\frac{(\alpha_{2},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1}$
   其中$(\alpha_{2},\beta_{1})=(-2)\times2 + 0\times1+1\times0=-4$，$(\beta_{1},\beta_{1})=2^{2}+1^{2}+0^{2}=5$
   $\beta_{2}=(-2,0,1)^{T}-\frac{-4}{5}(2,1,0)^{T}=(-2,0,1)^{T}+(\frac{8}{5},\frac{4}{5},0)^{T}=(\frac{-2}{5},\frac{4}{5},1)^{T}=\frac{1}{5}(-2,4,5)^{T}$
5. 单位化
   $\gamma_{1}=\frac{\beta_{1}}{\vert\vert\beta_{1}\vert\vert}=\frac{(2,1,0)^{T}}{\sqrt{2^{2}+1^{2}+0^{2}}}=(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}},0)^{T}$
   $\gamma_{2}=\frac{\beta_{2}}{\vert\vert\beta_{2}\vert\vert}=\frac{\frac{1}{5}(-2,4,5)^{T}}{\sqrt{(\frac{-2}{5})^{2}+(\frac{4}{5})^{2}+1^{2}}}=\frac{1}{3\sqrt{5}}(-2,4,5)^{T}=(-\frac{2}{3\sqrt{5}},\frac{4}{3\sqrt{5}},\frac{5}{3\sqrt{5}})^{T}$
   $\gamma_{3}=\frac{\alpha_{3}}{\vert\vert\alpha_{3}\vert\vert}=\frac{(1,-2,2)^{T}}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+2^{2}}}=(\frac{1}{3},-\frac{2}{3},\frac{2}{3})^{T}$
6. 得到正交变换和标准型
   令$Q = (\gamma_{1},\gamma_{2},\gamma_{3})=\begin{pmatrix}\frac{2}{\sqrt{5}}&-\frac{2}{3\sqrt{5}}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{\sqrt{5}}&\frac{4}{3\sqrt{5}}&-\frac{2}{3}\\0&\frac{5}{3\sqrt{5}}&\frac{2}{3}\end{pmatrix}$，作正交变换$X = QY$，则二次型$f$化为标准型$f = 9y_{3}^{2}$。