2.求函数 =dfrac (2')({2)^x+1} 的反函数,并写出其定义域

考查要点：本题主要考查反函数的求法及原函数值域的确定，进而得到反函数的定义域。

解题思路：

1. 确定原函数的值域：通过分析指数函数$2^x$的性质，推导分母的范围，从而得到原函数$y$的取值范围。
2. 求反函数：将原函数表达式中的$x$和$y$互换，解方程得到新的$y$表达式。
3. 确定反函数的定义域：反函数的定义域是原函数的值域。

关键点：

• 指数函数$2^x$的值域为$(0,+\infty)$，导致分母$2^x+1$的范围为$(1,+\infty)$。
• 原函数的值域为$(0,2)$，因此反函数的定义域为$(0,2)$。

步骤1：确定原函数的值域

原函数为$y = \dfrac{2}{2^x + 1}$：

• 当$x \to +\infty$时，$2^x \to +\infty$，分母$2^x + 1 \to +\infty$，故$y \to 0^+$；
• 当$x \to -\infty$时，$2^x \to 0$，分母$2^x + 1 \to 1$，故$y \to \dfrac{2}{1} = 2$；
• 因此，原函数的值域为$(0, 2)$。

步骤2：求反函数

1. 交换$x$和$y$：
   $x = \dfrac{2}{2^y + 1}$
2. 解方程求$y$：
   • 两边同乘$2^y + 1$：
     $x(2^y + 1) = 2$
   • 展开并整理：
     $x \cdot 2^y = 2 - x$
   • 两边除以$x$（注意$x \neq 0$）：
     $2^y = \dfrac{2 - x}{x}$
   • 取以$2$为底的对数：
     $y = \log_2 \left( \dfrac{2 - x}{x} \right)$

步骤3：确定反函数的定义域

反函数的定义域是原函数的值域，即$x \in (0, 2)$。