关于极限 lim_((x,y)to (0,0)) (x y^2)/((x-y)^2) 描述正确的是(）。A. 其他选项都不对B. 不存在C. 值为0D. 值为1

本题考查二元函数极限是否存在的判断。解题思路是通过选取不同的路径趋近于点$(0,0)$，若沿不同路径得到的极限值不同，则该二元函数在该点的极限不存在。

下面我们选取两条不同的路径来计算极限：

• 路径一：沿$y = 0$趋近于$(0,0)$
  将$y = 0$代入函数$\frac{xy^2}{(x - y)^2}$中，此时函数变为$\frac{x\cdot0^2}{(x - 0)^2}$，即$\frac{0}{x^2}=0$（$x\neq0$）。
  那么$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy^2}{(x - y)^2}=\lim_{x\to 0}\frac{x\cdot0^2}{(x - 0)^2}=\lim_{x\to 0}0 = 0$。
• 路径二：沿$y = x - x^2$趋近于$(0,0)$
  将$y = x - x^2$代入函数$\frac{xy^2}{(x - y)^2}$中：
  先计算$x - y$的值：$x - y=x-(x - x^2)=x^2$。
  再计算$y^2$的值：$y^2=(x - x^2)^2=x^2 - 2x^3 + x^4$。
  则函数$\frac{xy^2}{(x - y)^2}$变为$\frac{x(x^2 - 2x^3 + x^4)}{(x^2)^2}$，化简可得：
  $\begin{align*}\frac{x(x^2 - 2x^3 + x^4)}{(x^2)^2}&=\frac{x^3 - 2x^4 + x^5}{x^4}\\&=\frac{x^3}{x^4}-\frac{2x^4}{x^4}+\frac{x^5}{x^4}\\&=\frac{1}{x}-2 + x\end{align*}$
  求极限$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy^2}{(x - y)^2}=\lim_{x\to 0}(\frac{1}{x}-2 + x)$，当$x\to 0$时，$\frac{1}{x}\to\infty$，所以$\lim_{x\to 0}(\frac{1}{x}-2 + x)=\infty$。

由于沿$y = 0$和$y = x - x^2$这两条不同路径趋近于$(0,0)$时，函数的极限值不同，一个为$0$，一个为$\infty$，所以极限$\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{xy^2}{(x - y)^2}$不存在。