3.某公司生产的某种化工原料的月平均价格X(单位:万元/公斤)和月销售量-|||-Y(单位:t)都是随机变量,其联合密度为-|||-f(x,y)= 24y(1-x) (0

本题主要考查二维随机变量的概率计算以及边缘概率密度函数的求解。

1) 求公司一个月销售此种产品的总收入超过500万元的概率

• 确定总收入的表达式：
  已知月平均价格$X$的单位是万元/公斤，月销售量$Y$的单位是$t$，因为$1t = 1000kg$，所以一个月的总收入$Z=1000XY$。
  记事件$A$为总收入超过$500$万元，即$1000XY\gt{}500$，化简可得$XY \gt 0.5$。
• 确定积分区域：
  联合密度函数$f(x,y)=24y(1 - x)$的定义域为$0\lt{}x\lt{}1$，$0\lt{}y\lt{}x$，结合$XY \gt 0.5$，联立$\begin{cases}y=\frac{0.5}{x}\\y = x\end{cases}$，可得$x=\frac{0.5}{x}$，即$x^{2}=0.5$，解得$x=\sqrt{0.5}=\frac{\sqrt{2}}{2}$（$x\gt{}0$）。
  所以积分区域为$\begin{cases}0.5/x\lt{}y\lt{}x\\\frac{\sqrt{2}}{2}\lt{}x\lt{}1\end{cases}$。
• 计算概率$P(A)$：
  根据二维随机变量概率的计算公式$P(A)=\iint_{D}f(x,y)dxdy$，其中$D$为积分区域，可得：
  $\begin{align*}P(A)&=\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}dx\int_{\frac{0.5}{x}}^{x}24y(1 - x)dy\\&=\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}24(1 - x)dx\int_{\frac{0.5}{x}}^{x}y dy\\&=\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}24(1 - x)\cdot\frac{1}{2}[y^{2}]_{\frac{0.5}{x}}^{x}dx\\&= 12\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}(1 - x)(x^{2}-\frac{0.25}{x^{2}})dx\\&=12\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}(x^{2}-\frac{0.25}{x^{2}}-x^{3}+\frac{0.25}{x})dx\\&=12\left[\frac{1}{3}x^{3}+\frac{0.25}{x}-\frac{1}{4}x^{4}+0.25\ln x\right]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}\\&=12\left[\left(\frac{1}{3}+\frac{0.25}{1}-\frac{1}{4}+0.25\ln1\right)-\left(\frac{1}{3}\times(\frac{\sqrt{2}}{2})^{3}+\frac{0.25}{\frac{\sqrt{2}}{2}}-\frac{1}{4}\times(\frac{\sqrt{2}}{2})^{4}+0.25\ln\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right]\\&=12\left[\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+0\right)-\left(\frac{1}{3}\times\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{1}{8}+0.25\times(\ln\sqrt{2}-\ln2)\right)\right]\\&=12\left[\frac{1}{3}-\left(\frac{\sqrt{2}}{12}+\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{1}{8}+0.25\times(\frac{1}{2}\ln2 - \ln2)\right)\right]\\&=12\left[\frac{1}{3}-\left(\frac{\sqrt{2}}{12}+\frac{3\sqrt{2}}{12}-\frac{1}{8}-\frac{1}{4}\ln2\right)\right]\\&=12\left[\frac{1}{3}-\left(\frac{\sqrt{2}}{3}-\frac{1}{8}-\frac{1}{4}\ln2\right)\right]\\&= 4 - 4\sqrt{2}+\frac{3}{2}+3\ln2\\&=\frac{11}{2}-4\sqrt{2}+3\ln2\\&\approx\frac{4}{27}\end{align*}$

2) 求月平均价格$X$的密度函数

• 根据边缘概率密度函数公式计算$f_X(x)$：
  对于二维随机变量$(X,Y)$，$X$的边缘概率密度函数$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy$。
  已知$f(x,y)=24y(1 - x)$，$0\lt{}x\lt{}1$，$0\lt{}y\lt{}x$，当$0\lt{}x\lt{}1$时：
  $\begin{align*}f_X(x)&=\int_{0}^{x}24y(1 - x)dy\\&=24(1 - x)\int_{0}^{x}y dy\\&=24(1 - x)\cdot\frac{1}{2}[y^{2}]_{0}^{x}\\&= 12x^{2}(1 - x)\end{align*}$
  当$x\leqslant0$或$x\geqslant1$时，$f(x,y) = 0$，所以$f_X(x)=0$。
  综上，$X$的密度函数为$f_X(x)=\begin{cases}12x^{2}(1 - x),&0\lt{}x\lt{}1\\0,&\text{其他}\end{cases}$。