3.指出下列函数f(z)的解析性区域,并求出其导数:-|||-(1) ((z-1))^5 ;-|||-(2) ^3+2iz ;-|||-(3) dfrac (1)({z)^2-1} ;-|||-(4) dfrac (az+b)(cz+d) (c,d中至少有一个不为0).

考查要点：本题主要考查复变函数的解析性区域判断及导数计算，涉及多项式函数、有理分式函数的解析性条件及求导法则。

解题思路：

1. 解析性判断：多项式函数在复平面处处解析；分式函数在分母不为零的区域解析。
2. 导数计算：直接应用复变函数求导规则（如幂函数、多项式、商的导数公式）。

关键点：

• 多项式函数：解析区域为整个复平面。
• 分式函数：解析区域为分母不为零的点，导数需用商的求导法则。

(1) $(z-1)^5$

解析性区域

多项式函数在复平面处处解析，因此解析区域为整个复平面。

导数计算

直接应用幂函数求导法则：
$f'(z) = 5(z-1)^4$

(2) $z^3 + 2iz$

解析性区域

多项式函数在复平面处处解析，因此解析区域为整个复平面。

导数计算

逐项求导：
$f'(z) = 3z^2 + 2i$

(3) $\dfrac{1}{z^2 - 1}$

解析性区域

分母 $z^2 - 1 = 0$ 时无定义，解得 $z = \pm 1$，因此解析区域为除去 $z = \pm 1$ 的复平面。

导数计算

用商的导数公式：
$f'(z) = \frac{0 \cdot (z^2 - 1) - 1 \cdot 2z}{(z^2 - 1)^2} = -\frac{2z}{(z^2 - 1)^2}$

(4) $\dfrac{az + b}{cz + d}$（$c, d$ 不全为零）

解析性区域

分母 $cz + d = 0$ 时无定义，解得 $z = -\dfrac{d}{c}$（当 $c \neq 0$ 时）。若 $c = 0$，则分母为 $d \neq 0$，函数为常数。因此：

• 当 $c \neq 0$ 时，解析区域为除去 $z = -\dfrac{d}{c}$ 的复平面；
• 当 $c = 0$ 时，解析区域为整个复平面。

导数计算

用商的导数公式：
$f'(z) = \frac{a(cz + d) - (az + b)c}{(cz + d)^2} = \frac{ad - bc}{(cz + d)^2}$