题目
曲面2x3-yez-ln(z+1)=0在点(1,2,0)处的切平面方程为_______.正确答案:6x-y-3z-4=0
曲面2x3-yez-ln(z+1)=0在点(1,2,0)处的切平面方程为_______.
正确答案:6x-y-3z-4=0
题目解答
答案
解析:令F(x,y,z)=2x3-ye2-ln(z+1),则曲面上任一点处的切平面的法向量为:n=(Fx,Fy,Fz}=(6x2,-ez,-yez-
}于是,点(1,2,0)处的切平面的法向量为,n1={6,-1,-3},故切平面的方程为:6(x-1)-(y-2)-3(z-0)=0即6x-y-3z-4=0.
解析
步骤 1：定义函数
定义函数F(x,y,z)=2x3-yez-ln(z+1)。该函数表示给定的曲面方程。
步骤 2：计算偏导数
计算F(x,y,z)在点(1,2,0)处的偏导数，得到法向量n=(Fx,Fy,Fz)。
- Fx=6x2，因此Fx(1,2,0)=6。
- Fy=-ez，因此Fy(1,2,0)=-1。
- Fz=-yez-$\dfrac {1}{x+1}$，因此Fz(1,2,0)=-3。
步骤 3：确定切平面方程
利用点(1,2,0)和法向量n=(6,-1,-3)，写出切平面方程。
- 切平面方程为6(x-1)-(y-2)-3(z-0)=0。
- 化简得到6x-y-3z-4=0。
定义函数F(x,y,z)=2x3-yez-ln(z+1)。该函数表示给定的曲面方程。
步骤 2：计算偏导数
计算F(x,y,z)在点(1,2,0)处的偏导数，得到法向量n=(Fx,Fy,Fz)。
- Fx=6x2，因此Fx(1,2,0)=6。
- Fy=-ez，因此Fy(1,2,0)=-1。
- Fz=-yez-$\dfrac {1}{x+1}$，因此Fz(1,2,0)=-3。
步骤 3：确定切平面方程
利用点(1,2,0)和法向量n=(6,-1,-3)，写出切平面方程。
- 切平面方程为6(x-1)-(y-2)-3(z-0)=0。
- 化简得到6x-y-3z-4=0。