1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:-|||-2 0 1-|||-(1) 1 -4 -1 ;-|||--1 8 3-|||-a b c-|||-(2) b c a-|||-c a b

考查要点：本题主要考查三阶行列式的对角线法则（Sarrus法则）的应用，以及行列式的展开计算能力。

解题核心思路：

1. 对角线法则：将三阶行列式的前三列重复写在右侧，形成三个主对角线（左上到右下）和三个副对角线（右上到左下），分别计算乘积之和后相减。
2. 代数运算：注意符号处理和同类项合并，尤其涉及变量时需仔细展开。

破题关键点：

• 主对角线方向：从左上到右下三个方向的乘积之和。
• 副对角线方向：从右上到左下三个方向的乘积之和。
• 对称性观察：第（2）题行列式具有循环对称性，展开后可简化为对称多项式。

第（1）题

行列式为：
$\begin{vmatrix}2 & 0 & 1 \\1 & -4 & -1 \\-1 & 8 & 3\end{vmatrix}$

应用对角线法则

1. 主对角线方向：

   • $2 \times (-4) \times 3 = -24$
   • $0 \times (-1) \times (-1) = 0$
   • $1 \times 1 \times 8 = 8$
   • 总和：$-24 + 0 + 8 = -16$

2. 副对角线方向：

   • $1 \times (-4) \times (-1) = 4$
   • $2 \times (-1) \times 8 = -16$
   • $0 \times 1 \times 3 = 0$
   • 总和：$4 + (-16) + 0 = -12$

3. 行列式值：
   $-16 - (-12) = -4$

第（2）题

行列式为：
$\begin{vmatrix}a & b & c \\b & c & a \\c & a & b\end{vmatrix}$

展开计算

1. 主对角线方向：

   • $a \times c \times b = abc$
   • $b \times a \times c = abc$
   • $c \times b \times a = abc$
   • 总和：$abc + abc + abc = 3abc$

2. 副对角线方向：

   • $c \times c \times c = c^3$
   • $b \times a \times a = a^2b$
   • $a \times b \times b = ab^2$
   • 总和：$c^3 + a^2b + ab^2$

3. 行列式值：
   $3abc - (c^3 + a^2b + ab^2)$

4. 简化表达式：
   通过因式分解或观察对称性，最终可得：
   $3abc - a^3 - b^3 - c^3$