设 f(s) 在 (-infty, +infty) 连续，则 int_((0,0))^(1,2) yf(xy)dx + xf(xy)dy= ( ).A. int_(0)^2 f(s)dsB. f(1)-f(0)C. int_(0)^1 f(s)dsD. f(2)-f(0)

本题考查曲线积分与路径无关的条件以及利用原函数计算曲线积分，解题的关键在于判断曲线积分是否与路径无关，若无关则可选择合适的路径进行计算。

1. 判断曲线积分是否与路径无关：
   设$P = yf(xy)$，$Q = xf(xy)$。
   对$P$关于$y$求偏导数，根据乘积法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，其中$u = y$，$v = f(xy)$，可得：
   $\frac{\partial P}{\partial y}=f(xy)+xyf^\prime(xy)$
   对$Q$关于$x$求偏导数，同样根据乘积法则，其中$u = x$，$v = f(xy)$，可得：
   $\frac{\partial Q}{\partial x}=f(xy)+xyf^\prime(xy)$
   因为$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$，且$P$，$Q$在$(-\infty, +\infty)$上连续，所以曲线积分$\int_{(0,0)}^{(1,2)} yf(xy)dx + xf(xy)dy$与路径无关。
2. 选择合适的路径计算曲线积分：
   选择折线作为积分路径，先从点$(0,0)$沿$x$轴到点$(1,0)$，再从点$(1,0)$沿直线$x = 1$到点$(1,2)$。
   • 从点$(0,0)$到点$(1,0)$：
     此时$y = 0$，$dy = 0$，则曲线积分$\int_{(0,0)}^{(1,0)} yf(xy)dx + xf(xy)dy = \int_{0}^{1} 0\cdot f(x\cdot 0)dx + x\cdot f(x\cdot 0)\cdot 0 = 0$。
   • 从点$(1,0)$到点$(1,2)$：
     此时$x = 1$，$dx = 0$，则曲线积分$\int_{(1,0)}^{(1,2)} yf(xy)dx + xf(xy)dy = \int_{0}^{2} 1\cdot f(1\cdot y)\cdot 0 + 1\cdot f(1\cdot y)dy = \int_{0}^{2} f(y)dy$。
3. 计算原曲线积分的值：
   根据曲线积分的可加性，可得：
   $\int_{(0,0)}^{(1,2)} yf(xy)dx + xf(xy)dy = \int_{(0,0)}^{(1,0)} yf(xy)dx + xf(xy)dy + \int_{(1,0)}^{(1,2)} yf(xy)dx + xf(xy)dy = 0 + \int_{0}^{2} f(y)dy = \int_{0}^{2} f(s)ds$（积分变量可任意替换）。