[例3](2007,数一)设f(u,v)为二元可微函数, =f((x)^y,(y)^x), 则 dfrac (partial z)(partial x)= __

步骤 1：定义中间变量
定义中间变量 $u = x^y$ 和 $v = y^x$，则 $z = f(u, v)$。
步骤 2：应用链式法则
根据链式法则，$\dfrac {\partial z}{\partial x} = \dfrac {\partial z}{\partial u} \cdot \dfrac {\partial u}{\partial x} + \dfrac {\partial z}{\partial v} \cdot \dfrac {\partial v}{\partial x}$。
步骤 3：计算偏导数
计算 $\dfrac {\partial u}{\partial x} = yx^{y-1}$ 和 $\dfrac {\partial v}{\partial x} = y^x \ln y$。
步骤 4：代入偏导数
将 $\dfrac {\partial u}{\partial x}$ 和 $\dfrac {\partial v}{\partial x}$ 代入链式法则的表达式中，得到 $\dfrac {\partial z}{\partial x} = f_u \cdot yx^{y-1} + f_v \cdot y^x \ln y$。