题目
微分表达式 (2xy + y^2)dx + (x^2 + 2xy)dy 的一个原函数u(x, y)=(） A. x^2y + xy^2 + CB. x^2y + 2xy^2 + CC. 2x^2y + xy^2 + CD. 2x^2y + 2xy^2 + C
微分表达式
$(2xy + y^2)dx + (x^2 + 2xy)dy$
的一个原函数$u(x, y)=$(）
- A. $x^2y + xy^2 + C$
- B. $x^2y + 2xy^2 + C$
- C. $2x^2y + xy^2 + C$
- D. $2x^2y + 2xy^2 + C$
题目解答
答案
对 $P(x, y) = 2xy + y^2$ 关于 $x$ 积分得：
\[ u(x, y) = \int (2xy + y^2) \, dx = x^2y + xy^2 + f(y). \]
求导得：
\[ \frac{\partial u}{\partial y} = x^2 + 2xy + f'(y). \]
与 $Q(x, y) = x^2 + 2xy$ 比较得 $f'(y) = 0$，即 $f(y) = C$。
因此，原函数为：
\[ u(x, y) = x^2y + xy^2 + C. \]
答案：$\boxed{A}$
解析
步骤 1：对 $P(x, y) = 2xy + y^2$ 关于 $x$ 积分
对 $P(x, y) = 2xy + y^2$ 关于 $x$ 积分，得到： \[ u(x, y) = \int (2xy + y^2) \, dx = x^2y + xy^2 + f(y). \] 其中，$f(y)$ 是关于 $y$ 的任意函数，因为积分时对 $y$ 视为常数。
步骤 2：求导并比较
对 $u(x, y)$ 关于 $y$ 求偏导，得到： \[ \frac{\partial u}{\partial y} = x^2 + 2xy + f'(y). \] 与 $Q(x, y) = x^2 + 2xy$ 比较，可以发现 $f'(y) = 0$，即 $f(y)$ 是一个常数。
步骤 3：确定原函数
由于 $f(y)$ 是一个常数，可以记为 $C$，因此原函数为： \[ u(x, y) = x^2y + xy^2 + C. \]
对 $P(x, y) = 2xy + y^2$ 关于 $x$ 积分，得到： \[ u(x, y) = \int (2xy + y^2) \, dx = x^2y + xy^2 + f(y). \] 其中，$f(y)$ 是关于 $y$ 的任意函数，因为积分时对 $y$ 视为常数。
步骤 2：求导并比较
对 $u(x, y)$ 关于 $y$ 求偏导，得到： \[ \frac{\partial u}{\partial y} = x^2 + 2xy + f'(y). \] 与 $Q(x, y) = x^2 + 2xy$ 比较，可以发现 $f'(y) = 0$，即 $f(y)$ 是一个常数。
步骤 3：确定原函数
由于 $f(y)$ 是一个常数，可以记为 $C$，因此原函数为： \[ u(x, y) = x^2y + xy^2 + C. \]