21.计算y=x^2-1与x+y=1围成的面积A. 5B. (9)/(2)C. -(9)/(2)D. 4

本题考查利用定积分求两条曲线所围成的平面图形的面积。解题思路如下：

1. 首先要求出两条曲线的交点，从而确定积分的上下限。
2. 然后判断在积分区间内哪条曲线在上方，哪条曲线在下方。
3. 最后根据定积分求面积的公式$S = \int_{a}^{b} [f(x)-g(x)]dx$（其中$f(x)$为上方曲线，$g(x)$为下方曲线，$[a,b]$为积分区间）计算面积。

步骤一：求交点

联立$y = x^{2}-1$与$x + y = 1$（即$y=1 - x$）的方程：
$\begin{cases}y = x^{2}-1\\y = 1 - x\end{cases}$
将$y = 1 - x$代入$y = x^{2}-1$可得：
$x^{2}-1=1 - x$
移项化为一元二次方程的标准形式：$x^{2}+x - 2 = 0$
因式分解得$(x + 2)(x - 1)=0$
解得$x=-2$或$x = 1$。
将$x=-2$代入$y = 1 - x$，得$y=1-(-2)=3$；将$x = 1$代入$y = 1 - x$，得$y=1 - 1 = 0$。
所以交点坐标为$(-2,3)$和$(1,0)$，积分区间为$[-2,1]$。

步骤二：判断上下曲线

在区间$[-2,1]$内，任取一点$x_0\in[-2,1]$，比较$1 - x$与$x^{2}-1$的大小。
令$h(x)=(1 - x)-(x^{2}-1)=-x^{2}-x + 2$
对于二次函数$y=-x^{2}-x + 2$，其二次项系数$a=-1\lt0$，图象开口向下，且由$-x^{2}-x + 2 = 0$，即$x^{2}+x - 2 = 0$，解得$x=-2$或$x = 1$。
所以在区间$[-2,1]$上，$h(x)\geqslant0$，即$1 - x\geqslant x^{2}-1$，所以$y = 1 - x$是上方曲线，$y = x^{2}-1$是下方曲线。

步骤三：计算面积

根据定积分求面积公式$S=\int_{-2}^{1}[(1 - x)-(x^{2}-1)]dx=\int_{-2}^{1}(-x^{2}-x + 2)dx$
根据定积分的运算法则$\int_{a}^{b}(u(x)\pm v(x))dx=\int_{a}^{b}u(x)dx\pm\int_{a}^{b}v(x)dx$可得：
$S=-\int_{-2}^{1}x^{2}dx-\int_{-2}^{1}xdx+\int_{-2}^{1}2dx$
根据定积分基本公式$\int x^{n}dx=\frac{1}{n + 1}x^{n+1}+C(n\neq - 1)$，$\int kdx=kx + C$（$k$为常数）计算：
$-\int_{-2}^{1}x^{2}dx=-\left[\frac{1}{3}x^{3}\right]_{-2}^{1}=-\left(\frac{1}{3}\times1^{3}-\frac{1}{3}\times(-2)^{3}\right)=-\left(\frac{1}{3}+\frac{8}{3}\right)=-3$
$-\int_{-2}^{1}xdx=-\left[\frac{1}{2}x^{2}\right]_{-2}^{1}=-\left(\frac{1}{2}\times1^{2}-\frac{1}{2}\times(-2)^{2}\right)=-\left(\frac{1}{2}-2\right)=\frac{3}{2}$
$\int_{-2}^{1}2dx=2[x]_{-2}^{1}=2\times(1-(-2)) = 6$
所以$S=-3+\frac{3}{2}+6=\frac{-6 + 3+12}{2}=\frac{9}{2}$