题目

设 G=A=(a_{ij))_(ntimes n) mid a_(ij) in mathbb(Z), |A|=1}, 证明: G 对普通的矩阵乘法构成群.

设 $G=\{A=(a_{ij})_{n\times n} \mid a_{ij} \in \mathbb{Z}, |A|=1\}$, 证明: $G$ 对普通的矩阵乘法构成群.

题目解答

答案

设 $ G = \{ A = (a_{ij})_{n \times n} \mid a_{ij} \in \mathbb{Z}, |A| = 1 \} $，证明 $ G $ 对矩阵乘法构成群。

  1. 封闭性：
    对任意 $ A, B \in G $，$ AB $ 为整数矩阵（整数运算结果），且 $ |AB| = |A| \cdot |B| = 1 \cdot 1 = 1 $，故 $ AB \in G $。

  2. 结合律：
    矩阵乘法满足结合律，即 $ (AB)C = A(BC) $ 对任意 $ A, B, C \in G $ 成立。

  3. 单位元：
    单位矩阵 $ I $（对角线元素为1，其余为0）满足 $ AI = IA = A $，且 $ |I| = 1 $，故 $ I \in G $。

  4. 逆元：
    对任意 $ A \in G $，其逆矩阵 $ A^{-1} = \text{adj}(A) $（伴随矩阵）为整数矩阵，且 $ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} = 1 $，故 $ A^{-1} \in G $。

综上，$ G $ 满足群的定义，构成群。

$\boxed{G \text{ 对矩阵乘法构成群。}}$

解析

考查要点：本题要求证明集合$G$在矩阵乘法下构成群，需验证群的四个基本性质：封闭性、结合律、单位元存在性、逆元存在性。

解题核心思路：

  1. 封闭性：验证矩阵乘法的封闭性，即两个矩阵相乘后仍属于$G$；
  2. 结合律：直接利用矩阵乘法的结合律；
  3. 单位元：验证单位矩阵是否属于$G$；
  4. 逆元：利用行列式为1的性质，证明逆矩阵存在且属于$G$。

破题关键点：

  • 行列式的乘积性质：$|AB| = |A||B|$；
  • 伴随矩阵的整数性：整数矩阵的伴随矩阵仍为整数矩阵；
  • 逆矩阵的行列式：$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$。

封闭性

取任意$A, B \in G$，则：

  1. 整数矩阵乘积：$A$和$B$的元素均为整数，故$AB$的元素仍为整数；
  2. 行列式计算：$|AB| = |A||B| = 1 \cdot 1 = 1$；
    因此，$AB \in G$，封闭性成立。

结合律

矩阵乘法天然满足结合律，即对任意$A, B, C \in G$，有$(AB)C = A(BC)$。

单位元

单位矩阵$I$满足：

  1. 整数矩阵：对角线元素为1，其余为0；
  2. 行列式为1：$|I| = 1$；
    因此，$I \in G$，且对任意$A \in G$，有$AI = IA = A$。

逆元

对任意$A \in G$：

  1. 可逆性：$|A| = 1 \neq 0$，故$A$可逆；
  2. 逆矩阵形式：$A^{-1} = \text{adj}(A)$（伴随矩阵）；
  3. 整数性：$\text{adj}(A)$的元素为$A$的余子式乘以$\pm 1$，因$A$元素为整数，故$\text{adj}(A)$元素仍为整数；
  4. 行列式验证：$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|} = 1$；
    因此，$A^{-1} \in G$，逆元存在。