用极限的定义证明lim _(narrow infty )dfrac (sqrt {{n)^2+(a)^2}}(n)=1

考查要点：本题主要考查利用极限的定义证明数列极限的能力，需要掌握分子有理化、不等式放缩以及ε-N语言的应用。

解题核心思路：

1. 化简表达式：将原式转化为更易处理的形式，分离出与$n$无关的常数项。
2. 构造不等式：通过分子有理化，将绝对值表达式转化为可控制的形式。
3. 放缩处理：利用分母的下界估计，将复杂表达式简化为仅含$n$的项。
4. 确定N的存在性：根据放缩后的表达式，找到满足条件的$N$，完成ε-N论证。

破题关键点：

• 分子有理化是简化绝对值表达式的突破口。
• 分母的下界估计（如$\sqrt{1+\frac{a^2}{n^2}} +1 \geq 2$）是放缩的关键步骤。
• 解不等式求N需结合$\varepsilon$与$a$的关系，确保$n > N$时条件成立。

步骤1：化简原式
原式可变形为：
$\frac{\sqrt{n^2 + a^2}}{n} = \sqrt{1 + \frac{a^2}{n^2}}.$

步骤2：构造绝对值表达式
考虑极限值$1$，计算差值的绝对值：
$\left| \sqrt{1 + \frac{a^2}{n^2}} - 1 \right|.$

步骤3：分子有理化
通过分子有理化，将表达式变形：
$\begin{aligned}\left| \sqrt{1 + \frac{a^2}{n^2}} - 1 \right| &= \frac{\left( \sqrt{1 + \frac{a^2}{n^2}} - 1 \right)\left( \sqrt{1 + \frac{a^2}{n^2}} + 1 \right)}{\sqrt{1 + \frac{a^2}{n^2}} + 1} \\&= \frac{\frac{a^2}{n^2}}{\sqrt{1 + \frac{a^2}{n^2}} + 1}.\end{aligned}$

步骤4：放缩处理
由于$\sqrt{1 + \frac{a^2}{n^2}} \geq 1$，分母满足：
$\sqrt{1 + \frac{a^2}{n^2}} + 1 \geq 1 + 1 = 2.$
因此，原式可进一步放缩为：
$\frac{\frac{a^2}{n^2}}{\sqrt{1 + \frac{a^2}{n^2}} + 1} \leq \frac{a^2}{2n^2}.$

步骤5：确定N的存在性
给定任意$\varepsilon > 0$，要求：
$\frac{a^2}{2n^2} < \varepsilon \quad \Rightarrow \quad n > \frac{a}{\sqrt{2\varepsilon}}.$
取$N$为满足$N > \frac{a}{\sqrt{2\varepsilon}}$的最小整数，则当$n > N$时，原式满足：
$\left| \sqrt{1 + \frac{a^2}{n^2}} - 1 \right| < \varepsilon.$