1.设函数 f(x)= {x)^3,xleqslant 1 (x)^2,xgt 1, . 讨论f(x)在 x=1 处的可导性.

本题考察分段函数在分段点处的可导性，关键是利用函数可导的充要条件：函数在该点的的左导数等于右导数。

步骤1：明确函数在分段点的表达式

函数 $f(x)$ 为分段函数：
$f(x)=\begin{cases} \frac{2}{3}x^3 & (x\leq1) \\x^2 & (x>1)\end{cases}$
分段点为 $x=1$，需分别计算 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的左导数 $f'_-(1)$ 和右导数 $f'_+'(1)$，若两者相等则可导，否则不可导。

步骤2：计算左导数 $f'_-(1)$

当 $x\leq1$ 时，$f(x)=\frac{2}{3}x^3$，其导数为 $f'(x)=2x^2$。
左导数定义为：
$f'_-(1)=\lim_{x\to1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$
先计算 $f(1)=\frac{2}{3}(1)^3=\frac{2}{3}$，代入得：
$f'_-(1)=\lim_{xto1^-}\frac{\frac{2}{3}x^3-\frac{2}{3}}{x-1}=\lim_{xto1^-}\frac{23(x^3-1)}{x-1}$
利用立方差公式 $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$，化简：
$f'_-(1)=\lim_{xto1^-}\frac23(x^2+x+1)=\frac23(1+1+1)=2$

步骤3：计算右导数 $f'_+(1)$

当 $x>1$ 时，$f(x)=x^2$，导数为 $f'(x)=2$2x)。
右导数定义为：
$f'_+(1)=\lim_{xto1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$
$f(1)=\frac{2}{3}$，代入得：
$f'_+(1)=\lim_{xto1^+}\frac{x^2-\frac{2}{3}}{x-1}$
分子 $x^2-\(\frac{2}{3}$在$x\to1^+$时极限为$1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\neq0$，分母$x-1\to0^+$，故该极限为**无穷大（不存在）。

步骤4：判断可导性

由于左导数 $f'_-(1)=2$\)f'_+(1)) 不存在，因此 $f(x)$ 在 $x=1$ 处不可导****。