某班教师发现在考试及格的学生中有80%的学生按时交作业，而在考试不及格的学生中只有30%的学生按时交作业，现在知道有85%的学生考试及格，从这个班的学生中随机地抽取一位学生。(1)求抽到的这位学生是按时交作业的概率。(2)若已知抽到的这位学生是按时交作业的，求他考试及格的概率。

考查要点：本题主要考查全概率公式和贝叶斯定理的应用，涉及条件概率的理解与计算。

解题核心思路：

1. 第（1）题：将学生分为“及格”和“不及格”两类，分别计算两类学生中按时交作业的概率，再按比例（即两类学生所占比例）加权求和。
2. 第（2）题：已知学生按时交作业，求其及格的概率，需用贝叶斯定理，即通过已知条件概率反推后验概率。

破题关键点：

• 明确两类学生（及格、不及格）的划分及对应概率。
• 正确应用全概率公式计算总概率（第1问）。
• 理解贝叶斯定理的公式结构，正确代入数值计算（第2问）。

第（1）题

目标：计算随机抽取学生按时交作业的概率。

步骤1：划分互斥事件

将学生分为两类：

• 及格（概率为$85\%$），其中按时交作业的概率为$80\%$。
• 不及格（概率为$15\%$），其中按时交作业的概率为$30\%$。

步骤2：应用全概率公式

总概率为两类情况的加权和：
$P(\text{按时}) = P(\text{及格}) \cdot P(\text{按时}|\text{及格}) + P(\text{不及格}) \cdot P(\text{按时}|\text{不及格})$

步骤3：代入数值计算

$P(\text{按时}) = 0.85 \times 0.8 + 0.15 \times 0.3 = 0.68 + 0.045 = 0.725$

第（2）题

目标：已知学生按时交作业，求其及格的概率。

步骤1：写出贝叶斯定理公式

$P(\text{及格}|\text{按时}) = \frac{P(\text{及格}) \cdot P(\text{按时}|\text{及格})}{P(\text{按时})}$

步骤2：代入已知数值

• $P(\text{及格}) = 0.85$，$P(\text{按时}|\text{及格}) = 0.8$
• $P(\text{按时}) = 0.725$（第1问结果）

$P(\text{及格}|\text{按时}) = \frac{0.85 \times 0.8}{0.725} = \frac{0.68}{0.725} \approx 0.938$