平面x-2y-3z+1=0和x-y+z+2=0的位置关系为(,,,,,,)A. 平行B. 重合C. 垂直相交D. 相交但不垂直

本题考查知识点为两平面的位置关系，解题思路是先根据平面方程得出两平面的法向量，再通过法向量的关系判断两平面的位置关系。具体步骤如下：

1. 对于平面$Ax + By + Cz + D = 0$，其法向量为$\vec{n}=(A,B,C)$。
   • 对于平面$x - 2y - 3z + 1 = 0$，其法向量$\vec{n_1}=(1,-2,-3)$。
   • 对于平面$x - y + z + 2 = 0$，其法向量$\vec{n_2}=(1,-1,1)$。
2. 判断两平面是否平行或重合：
   • 若两平面平行或重合，则它们的法向量对应成比例，即存在实数$\lambda$，使得$\vec{n_1}=\lambda\vec{n_2}$。
   • 假设$(1,-2,-3)=\lambda(1,-1,1)$，则可得方程组$\begin{cases}1 = \lambda\\-2 = -\lambda\\-3 = \lambda\end{cases}$，此方程组无解，所以两平面不平行也不重合。
3. 判断两平面是否垂直：
   • 若两平面垂直，则它们的法向量的点积为$0$，即$\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=0$。
   • 计算$\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}$：
     根据向量点积公式$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z$，可得$\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=1\times1 + (-2)\times(-1) + (-3)\times1$
     $=1 + 2 - 3$
     $=0$
   • 因为$\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=0$，所以两平面垂直。
   • 又因为两平面不重合，所以两平面垂直相交。