题目

10.计算题甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们都在某一昼夜内到达，且在该昼夜内任何时刻到达是等可能的。若甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求其中任何一艘船不需要等待码头空出的概率。

题目解答

答案

设甲船到达时间为 $x$，乙船到达时间为 $y$，均在 $[0, 24)$ 内等可能取值。甲船停泊1小时，乙船停泊2小时。为使两船不需等待，需满足以下条件之一： 1. 甲船先到且乙船在甲船离开后到达，即 $y \geq x + 1$； 2. 乙船先到且甲船在乙船离开后到达，即 $x \geq y + 2$。总可能区域为正方形 $S = \{(x, y) \mid 0 \leq x < 24, 0 \leq y < 24\}$，面积为 $24^2 = 576$。符合条件的区域 $A$ 为： \[ A = \{(x, y) \mid y \geq x + 1 \text{ 或 } x \geq y + 2\} \] 计算 $A$ 的面积： 1. $y \geq x + 1$ 的区域为直角三角形，底和高均为 $23$，面积为 $\frac{1}{2} \times 23 \times 23 = \frac{529}{2}$。 2. $x \geq y + 2$ 的区域为直角三角形，底和高均为 $22$，面积为 $\frac{1}{2} \times 22 \times 22 = 242$。 3. 两区域无重叠，总面积为 $\frac{529}{2} + 242 = \frac{1013}{2}$。因此，概率为： \[ P(A) = \frac{\text{面积}_A}{\text{面积}_S} = \frac{\frac{1013}{2}}{576} = \frac{1013}{1152} \] 最终答案：$\boxed{\frac{1013}{1152}}$。

解析

本题考查的是几何概型的概率计算。解题的关键思路是通过建立平面直角坐标系，将甲、乙两艘轮船的到达时间转化为平面上的点，从而确定总可能区域和满足条件的区域，最后根据几何概型的概率公式计算概率。

确定总可能区域：
设甲船到达时间为 $x$，乙船到达时间为 $y$，因为它们都在某一昼夜（$0$ 到 $24$ 小时）内到达，所以 $x$ 和 $y$ 的取值范围均为 $[0, 24)$。那么总可能区域 $S$ 是一个边长为 $24$ 的正方形，其面积根据正方形面积公式 $S = a^2$（其中 $a$ 为边长）可得：
$S = 24^2 = 576$
确定满足条件的区域：
为使两船不需要等待码头空出，有两种情况：
- 情况一：甲船先到且乙船在甲船离开后到达，即 $y \geq x + 1$。在平面直角坐标系中，$y = x + 1$ 是一条直线，$y \geq x + 1$ 表示直线 $y = x + 1$ 上方的区域。该区域与总区域 $S$ 所围成的图形是一个直角三角形，其底和高均为 $24 - 1 = 23$。根据三角形面积公式 $S_{\triangle}=\frac{1}{2}ah$（其中 $a$ 为底，$h$ 为高），可得该三角形面积为：
  $S_1=\frac{1}{2} \times 23 \times 23=\frac{529}{2}$
- 情况二：乙船先到且甲船在乙船离开后到达，即 $x \geq y + 2$。在平面直角坐标系中，$x = y + 2$ 是一条直线，$x \geq y + 2$ 表示直线 $x = y + 2$ 右侧的区域。该区域与总区域 $S$ 所围成的图形是一个直角三角形，其底和高均为 $24 - 2 = 22$。根据三角形面积公式可得该三角形面积为：
  $S_2=\frac{1}{2} \times 22 \times 22 = 242$
  由于这两个区域没有重叠部分，所以满足条件的区域 $A$ 的面积为 $S_1$ 与 $S_2$ 之和，即：
  $S_A = S_1 + S_2=\frac{529}{2}+242=\frac{529 + 484}{2}=\frac{1013}{2}$
计算概率：
根据几何概型的概率公式 $P(A)=\frac{\text{构成事件 }A\text{ 的区域长度(面积或体积)}}{\text{试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)}}$，可得两船不需要等待码头空出的概率为：
$P(A)=\frac{S_A}{S}=\frac{\frac{1013}{2}}{576}=\frac{1013}{1152}$