9.设函数f(x)连续, (x)=(int )_(0)^sin xf(t(x)^2)dt-|||-(1)求F`(x);-|||-(2)讨论函数F`(x )的连续性

考查要点：本题主要考查变上限积分的求导法则以及复合函数求导的应用，同时需要结合连续函数的性质讨论导数的连续性。

解题核心思路：

1. 第一问：利用莱布尼茨积分法则，结合链式法则处理积分上限和被积函数中的变量$x$。关键在于正确处理积分变量与参数$x$的依赖关系。
2. 第二问：根据$f(x)$的连续性，分析$F'(x)$的表达式中各项的连续性，特别注意$x=0$处的极限是否存在且等于函数值。

破题关键点：

• 变量替换：通过令$u = t x^2$，将原积分转化为标准变上限积分形式，简化求导过程。
• 导数连续性：利用$f(x)$的连续性，结合极限分析$F'(x)$在$x=0$处的连续性。

第（1）题

变量替换

令$u = t x^2$，则当$t$从$0$到$\sin x$时，$u$从$0$到$x^2 \sin x$，且$dt = \frac{du}{x^2}$。原积分变为：
$F(x) = \int_{0}^{\sin x} f(t x^2) dt = \int_{0}^{x^2 \sin x} f(u) \cdot \frac{1}{x^2} du = \frac{1}{x^2} \int_{0}^{x^2 \sin x} f(u) du$

应用乘积法则求导

对$x$求导：
$F'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x^2} \right) \cdot \int_{0}^{x^2 \sin x} f(u) du + \frac{1}{x^2} \cdot \frac{d}{dx} \left( \int_{0}^{x^2 \sin x} f(u) du \right)$

分项计算

1. 第一项：
   $\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x^2} \right) = -\frac{2}{x^3}$
2. 第二项（莱布尼茨法则）：
   $\frac{d}{dx} \left( \int_{0}^{x^2 \sin x} f(u) du \right) = f(x^2 \sin x) \cdot \frac{d}{dx}(x^2 \sin x) = f(x^2 \sin x) \cdot (2x \sin x + x^2 \cos x)$

合并结果

$F'(x) = -\frac{2}{x^3} \int_{0}^{x^2 \sin x} f(u) du + \frac{1}{x^2} \cdot f(x^2 \sin x) \cdot (2x \sin x + x^2 \cos x)$

第（2）题

分析连续性

1. 当$x \neq 0$时：$F'(x)$的表达式中，$\int_{0}^{x^2 \sin x} f(u) du$和$f(x^2 \sin x)$均连续，分母$x^2$和$x^3$非零，故$F'(x)$连续。
2. 当$x = 0$时：
   • 计算$F'(0)$：由定义$F'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{F(h) - F(0)}{h}$，结合$f$的连续性可得$F'(0) = f(0)$。
   • 计算$\lim_{x \to 0} F'(x)$：通过近似分析可得极限值为$f(0)$，与$F'(0)$一致，故$F'(x)$在$x=0$处连续。