题目
4.曲线 =1+dfrac (ln (1+x))(x+1) ()-|||-A.有水平渐近线,无垂直渐近线 B.无水平渐近线,有垂直渐近线-|||-C.既有水平渐近线,又有垂直渐近线 D.既无水平渐近线,也无垂直渐近线
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定水平渐近线
计算当 $x$ 趋向于正无穷大时，函数 $y$ 的极限值。
$$\lim _{x\rightarrow +\infty }[ 1+\dfrac {\ln (1+x)}{x+1}] =1+\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {1}{1+x}=1$$
因此，曲线有水平渐近线 $y=1$。
步骤 2：确定垂直渐近线
计算当 $x$ 趋向于 $-1$ 时，函数 $y$ 的极限值。
$$\lim _{x\rightarrow -1}[ 1+\dfrac {\ln (1+x)}{x+1}] =-\infty$$
因此，曲线有垂直渐近线 $x=-1$。
计算当 $x$ 趋向于正无穷大时，函数 $y$ 的极限值。
$$\lim _{x\rightarrow +\infty }[ 1+\dfrac {\ln (1+x)}{x+1}] =1+\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {1}{1+x}=1$$
因此，曲线有水平渐近线 $y=1$。
步骤 2：确定垂直渐近线
计算当 $x$ 趋向于 $-1$ 时，函数 $y$ 的极限值。
$$\lim _{x\rightarrow -1}[ 1+\dfrac {\ln (1+x)}{x+1}] =-\infty$$
因此，曲线有垂直渐近线 $x=-1$。