题目
5 设a,b为常数，且lim_(xtoinfty)(sqrt[3](1-x^6)-ax^2-b)=0，则a=____ b=____
5 设a,b为常数，且$\lim_{x\to\infty}(\sqrt[3]{1-x^{6}}-ax^{2}-b)=0$，则a=____ b=____
题目解答
答案
将原式重写为：
\[
\sqrt[3]{1 - x^6} - ax^2 - b = x^2 \left( \sqrt[3]{\frac{1}{x^6} - 1} - a \right) - b
\]
当 $x \to \infty$ 时，$\frac{1}{x^6} \to 0$，$\sqrt[3]{\frac{1}{x^6} - 1} \to -1$。为使极限为0，需 $a = -1$。代入得：
\[
\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt[3]{1 - x^6} + x^2 - b \right)
\]
利用泰勒展开 $\sqrt[3]{1 - x^6} \approx -x^2 + \frac{1}{3x^4}$，得：
\[
\lim_{x \to \infty} \left( -x^2 + \frac{1}{3x^4} + x^2 - b \right) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{1}{3x^4} - b \right) = 0
\]
故 $b = 0$。
**答案：** $\boxed{-1, 0}$
解析
步骤 1：重写原式
将原式重写为： \[ \sqrt[3]{1 - x^6} - ax^2 - b = x^2 \left( \sqrt[3]{\frac{1}{x^6} - 1} - a \right) - b \]
步骤 2：分析极限
当 $x \to \infty$ 时，$\frac{1}{x^6} \to 0$，$\sqrt[3]{\frac{1}{x^6} - 1} \to -1$。为使极限为0，需 $a = -1$。代入得： \[ \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt[3]{1 - x^6} + x^2 - b \right) \]
步骤 3：利用泰勒展开
利用泰勒展开 $\sqrt[3]{1 - x^6} \approx -x^2 + \frac{1}{3x^4}$，得： \[ \lim_{x \to \infty} \left( -x^2 + \frac{1}{3x^4} + x^2 - b \right) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{1}{3x^4} - b \right) = 0 \]
步骤 4：求解b
故 $b = 0$。
将原式重写为： \[ \sqrt[3]{1 - x^6} - ax^2 - b = x^2 \left( \sqrt[3]{\frac{1}{x^6} - 1} - a \right) - b \]
步骤 2：分析极限
当 $x \to \infty$ 时，$\frac{1}{x^6} \to 0$，$\sqrt[3]{\frac{1}{x^6} - 1} \to -1$。为使极限为0，需 $a = -1$。代入得： \[ \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt[3]{1 - x^6} + x^2 - b \right) \]
步骤 3：利用泰勒展开
利用泰勒展开 $\sqrt[3]{1 - x^6} \approx -x^2 + \frac{1}{3x^4}$，得： \[ \lim_{x \to \infty} \left( -x^2 + \frac{1}{3x^4} + x^2 - b \right) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{1}{3x^4} - b \right) = 0 \]
步骤 4：求解b
故 $b = 0$。