题目
设f(x)在[ 0 , 1 ]上有连续导数,在( 0 , 1 )内二阶可导,且 f ( 0 ) = f ( 1 ) 试证存在in (0,1) ,使in (0,1)。
设f(x)在[ 0 , 1 ]上有连续导数,在( 0 , 1 )内二阶可导,且 f ( 0 ) = f ( 1 ) 试证存在
,使
。
题目解答
答案
根据题意，
∵f ( 0 ) = f ( 1 ) ，
∴由罗尔定理，存在
,
∴
=0
设
,
∴
∴F(1)=F(0)，
故根据罗尔定理，存在 ,有
=0，
∴
化简后得到：。
解析
步骤 1：应用罗尔定理
由于f(x)在[0,1]上连续且可导，且f(0) = f(1)，根据罗尔定理，存在$\xi_1 \in (0,1)$，使得$f'(\xi_1) = 0$。
步骤 2：构造辅助函数
构造辅助函数$F(x) = f'(x)(1-x)^2$，则$F(x)$在[0,1]上连续，在(0,1)内可导。
步骤 3：应用罗尔定理于辅助函数
由于$F(0) = f'(0)$，$F(1) = 0$，根据罗尔定理，存在$\xi \in (0,1)$，使得$F'(\xi) = 0$。
步骤 4：计算辅助函数的导数
$F'(x) = f''(x)(1-x)^2 - 2f'(x)(1-x)$，因此$F'(\xi) = f''(\xi)(1-\xi)^2 - 2f'(\xi)(1-\xi) = 0$。
步骤 5：化简得到结论
化简$F'(\xi) = 0$，得到$f''(\xi)(1-\xi)^2 = 2f'(\xi)(1-\xi)$，进一步化简得到$f''(\xi) = \dfrac{2f'(\xi)}{1-\xi}$。
由于f(x)在[0,1]上连续且可导，且f(0) = f(1)，根据罗尔定理，存在$\xi_1 \in (0,1)$，使得$f'(\xi_1) = 0$。
步骤 2：构造辅助函数
构造辅助函数$F(x) = f'(x)(1-x)^2$，则$F(x)$在[0,1]上连续，在(0,1)内可导。
步骤 3：应用罗尔定理于辅助函数
由于$F(0) = f'(0)$，$F(1) = 0$，根据罗尔定理，存在$\xi \in (0,1)$，使得$F'(\xi) = 0$。
步骤 4：计算辅助函数的导数
$F'(x) = f''(x)(1-x)^2 - 2f'(x)(1-x)$，因此$F'(\xi) = f''(\xi)(1-\xi)^2 - 2f'(\xi)(1-\xi) = 0$。
步骤 5：化简得到结论
化简$F'(\xi) = 0$，得到$f''(\xi)(1-\xi)^2 = 2f'(\xi)(1-\xi)$，进一步化简得到$f''(\xi) = \dfrac{2f'(\xi)}{1-\xi}$。