题目

设y=y(x)是方程y=y(x)的解，且满足y=y(x)，则当y=y(x)时，与y=y(x)为等价无穷小的是( )A y=y(x)B y=y(x)C y=y(x)D y=y(x)

设 $y=y\left(x\right)$ 是方程 $y''+2y'+y=e^{3x}$ 的解，且满足 $y\left(0\right)=y'\left(0\right)=0$ ，则当 $x\to0$ 时，与 $y\left(x\right)$ 为等价无穷小的是( )

A $\sin x^2$

B $\sin x$

C $\ln\left(1+x^2\right)$

D $\ln\sqrt{1+x^2}$

题目解答

答案

微分方程 $y''+2y'+y=e^{3x}$ 对应的齐次微分方程为 $y''+2y'+y=0$

特征方程为 $r^2+2r+1=0$

解得特征根为 $r_{1,2}=-1$

故其通解为 $y=\left(C_1+C_2x\right)e^{-x}$

由于3不是特征根，故设 $y''+2y'+y=e^{3x}$ 的特解 $y^{\ast}=ae^{3x}$ ，则 $y\ast'=3ae^{3x},y\ast''=9ae^{3x}$

代入方程 $y''+2y'+y=e^{3x}$ ，解得 $a=\frac{1}{16}$

故方程 $y''+2y'+y=e^{3x}$ 的特解 $y^{\ast}=\frac{e^{3x}}{16}$

故方程 $y''+2y'+y=e^{3x}$ 的通解为 $y=\left(C_1+C_2x\right)e^{-x}+\frac{e^{3x}}{16}$

则 $y'=\left(C_2-C_1-C_2x\right)e^{-x}+\frac{3e^{3x}}{16}$

∵ $y\left(0\right)=C_1+\frac{1}{16}=0$ ，

$y'\left(0\right)=C_2-C_1+\frac{3}{16}=0$

∴ $C_1=-\frac{1}{16},C_2=-\frac{1}{4}$

∴ $y\left(x\right)=\left(-\frac{1}{16}-\frac{1}{4}x\right)e^{-x}+\frac{e^{3x}}{16}$ ，

$y'\left(x\right)=\left(-\frac{3}{16}+\frac{1}{4}x\right)e^{-x}+\frac{3e^{3x}}{16}$

故 $y''\left(x\right)=\left(\frac{7}{16}-\frac{1}{4}x\right)e^{-x}+\frac{9e^{3x}}{16}$

则 $y''\left(0\right)=1$

A ∵根据等价无穷小的等价代换，有： $\lim_{x\to0}\frac{y\left(x\right)}{\sin x^2}=\lim_{x\to0}\frac{y\left(x\right)}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{y'\left(x\right)}{2x}$

$=\lim_{x\to0}\frac{y''\left(x\right)}{2}=\frac{y''\left(0\right)}{2}=\frac{1}{2}$

∴ $\sin x^2$ 不是 $y\left(x\right)$ 的等价无穷小

B ∵根据等价无穷小的等价代换，有： $\lim_{x\to0}\frac{y\left(x\right)}{\sin x}=\lim_{x\to0}\frac{y\left(x\right)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{y'\left(x\right)}{1}$

$=y'\left(0\right)=0$

∴ $\sin x$ 不是 $y\left(x\right)$ 的等价无穷小

C ∵根据等价无穷小的等价代换，有： $\lim_{x\to0}\frac{y\left(x\right)}{\ln\left(1+x^2\right)}=\lim_{x\to0}\frac{y\left(x\right)}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{y'\left(x\right)}{2x}$

$=\lim_{x\to0}\frac{y''\left(x\right)}{2}=\frac{y''\left(0\right)}{2}=\frac{1}{2}$

∴ $\ln\left(1+x^2\right)$ 不是 $y\left(x\right)$ 的等价无穷小

D ∵根据等价无穷小的等价代换，有： $\lim_{x\to0}\frac{y\left(x\right)}{\ln\sqrt{1+x^2}}=\lim_{x\to0}\frac{y\left(x\right)}{\ln\left[1+\left(\sqrt{1+x^2}-1\right)\right]}$

$=\lim_{x\to0}\frac{y\left(x\right)}{\sqrt{1+x^2}-1}=\lim_{x\to0}\frac{y\left(x\right)}{\frac{x^2}{2}}$

$=\lim_{x\to0}\frac{y'\left(x\right)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{y''\left(x\right)}{1}=y''\left(0\right)=1$

∴ $\ln\sqrt{1+x^2}$ 是 $y\left(x\right)$ 的等价无穷小

故选D