3.计算lim_(xto0)(cos x)^(1)/(ln(1+x^(2)))=（）.A. e^-(1)/(2)B. e^(1)/(2)C. e^2D. e^-2

考查要点：本题主要考查变限函数的极限计算，特别是处理形如$1^\infty$型不定式的常用方法——取自然对数转化为指数形式，并结合洛必达法则或泰勒展开求解。

解题核心思路：

1. 识别不定式类型：当$x \to 0$时，$\cos x \to 1$，$\ln(1+x^2) \to 0$，原式为$1^\infty$型不定式。
2. 取自然对数：将原式转化为$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(\cos x)}{\ln(1+x^2)}$，再通过求导或展开处理。
3. 关键步骤：利用洛必达法则或泰勒展开简化极限表达式，最终通过指数运算得到结果。

设原式极限为$L$，则：
$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(\cos x)}{\ln(1+x^2)}$

步骤1：应用洛必达法则
当$x \to 0$时，分子$\ln(\cos x) \to 0$，分母$\ln(1+x^2) \to 0$，满足$\frac{0}{0}$型不定式。对分子分母分别求导：
$\frac{d}{dx} \ln(\cos x) = -\tan x, \quad \frac{d}{dx} \ln(1+x^2) = \frac{2x}{1+x^2}$
因此：
$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{-\tan x}{\frac{2x}{1+x^2}} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x (1+x^2)}{\cos x \cdot 2x}$

步骤2：化简并代入极限
当$x \to 0$时，$\sin x \approx x$，$\cos x \approx 1$，代入得：
$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{-x \cdot 1}{2x} = -\frac{1}{2}$

步骤3：求最终结果
$L = e^{\ln L} = e^{-\frac{1}{2}}$