题目

五星题(☆☆☆☆☆)-|||-求图中阴影部分的面积《单位:cm)-|||-10-|||-20

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查组合图形的面积计算，涉及矩形、圆、三角形、扇形等几何图形的综合应用，以及通过比例、三角函数求解几何量的能力。

解题核心思路：

  1. 整体分解：将阴影部分拆分为若干已知或可求区域（如$S_1$、$S_2$、$S_3$）。
  2. 比例关系：利用几何图形的比例、相似三角形等关系简化计算。
  3. 分步计算：分别计算各部分面积后组合，注意代数运算的准确性。

破题关键点：

  • 识别图形结构：明确矩形、圆、三角形的位置关系。
  • 利用垂直关系：通过$BC \perp AD$建立角度关系，结合三角函数求解边长。
  • 扇形角度计算：通过反正切函数确定扇形圆心角，进而计算面积。

步骤1：计算$S_2 + S_3$

  • 矩形面积：长$20\ \text{cm}$，宽$10\ \text{cm}$，面积为$20 \times 10 = 200\ \text{cm}^2$。
  • 圆面积：半径$5\ \text{cm}$的圆面积为$\pi \times 5^2 = 25\pi\ \text{cm}^2$，两圆总面积为$2 \times 25\pi = 50\pi\ \text{cm}^2$。
  • 比例分配：$S_2 + S_3 = \dfrac{3}{8} \times (200 - 50\pi) = 75 - \dfrac{75\pi}{4}\ \text{cm}^2$。

步骤2：计算$S_1$

关键几何关系

  • 垂直关系：$BC \perp AD$，$\angle ABC = \angle ADB$，$\tan \angle ABC = \dfrac{AB}{BD} = \dfrac{1}{2}$。
  • 比例推导：$\dfrac{AC}{CD} = \dfrac{1}{4}$，$OD$边上的高$h_{OD} = 4\ \text{cm}$。

面积计算

  1. 三角形面积：
    • $\triangle ABD$面积：$\dfrac{1}{2} \times 5 \times 10 = 25\ \text{cm}^2$。
    • $\triangle OCD$面积：$\dfrac{1}{2} \times 5 \times 4 = 10\ \text{cm}^2$。
  2. 扇形面积：
    • 圆心角$\theta = \arctan \dfrac{4}{3}$，扇形面积：$\dfrac{\theta}{2\pi} \times \pi \times 5^2 = \dfrac{25}{2} \arctan \dfrac{4}{3}\ \text{cm}^2$。
  3. 组合结果：
    $S_1 = 25 - 10 - \dfrac{25}{2} \arctan \dfrac{4}{3} = 15 - \dfrac{25}{2} \arctan \dfrac{4}{3}\ \text{cm}^2.$

步骤3：总阴影面积

  • 组合所有部分：
    $S_{\text{阴影}} = S_1 + S_2 + S_3 = \left(15 - \dfrac{25}{2} \arctan \dfrac{4}{3}\right) + \left(75 - \dfrac{75\pi}{4}\right).$
  • 数值估算：
    $\arctan \dfrac{4}{3} \approx 0.9273,\ \pi \approx 3.1416 \implies S_{\text{阴影}} \approx 19.50\ \text{cm}^2.$