题目
(4) (y-(x)^3)dx-2xdy=0 的通解为 __
题目解答
答案
解析
步骤 1：整理方程
将给定的微分方程 $(y-{x}^{3})dx-2xdy=0$ 整理为标准形式。首先，将方程重写为 $2xdy=(y-{x}^{3})dx$，然后除以 $2x$，得到 $y'=\dfrac{y-{x}^{3}}{2x}$。进一步整理为 $y'-\dfrac{1}{2x}y=-\dfrac{x}{2}$，这是一个一阶线性非齐次微分方程。
步骤 2：求解齐次方程
首先求解对应的齐次方程 $y'-\dfrac{1}{2x}y=0$。这是一个可分离变量的方程，分离变量后得到 $\dfrac{dy}{y}=\dfrac{1}{2x}dx$。两边积分得到 $\ln|y|=\dfrac{1}{2}\ln|x|+C$，即 $y=C\sqrt{|x|}$，其中 $C$ 是积分常数。
步骤 3：求解非齐次方程
对于非齐次方程 $y'-\dfrac{1}{2x}y=-\dfrac{x}{2}$，使用常数变易法。设 $y=C(x)\sqrt{|x|}$，代入原方程求解 $C(x)$。将 $y$ 和 $y'$ 代入原方程，得到 $C'(x)\sqrt{|x|}=-\dfrac{x}{2}$。解这个方程得到 $C(x)=-\dfrac{x^{2}}{5}+C$，其中 $C$ 是新的积分常数。因此，$y=C\sqrt{|x|}-\dfrac{x^{3}}{5}$。
将给定的微分方程 $(y-{x}^{3})dx-2xdy=0$ 整理为标准形式。首先，将方程重写为 $2xdy=(y-{x}^{3})dx$，然后除以 $2x$，得到 $y'=\dfrac{y-{x}^{3}}{2x}$。进一步整理为 $y'-\dfrac{1}{2x}y=-\dfrac{x}{2}$，这是一个一阶线性非齐次微分方程。
步骤 2：求解齐次方程
首先求解对应的齐次方程 $y'-\dfrac{1}{2x}y=0$。这是一个可分离变量的方程，分离变量后得到 $\dfrac{dy}{y}=\dfrac{1}{2x}dx$。两边积分得到 $\ln|y|=\dfrac{1}{2}\ln|x|+C$，即 $y=C\sqrt{|x|}$，其中 $C$ 是积分常数。
步骤 3：求解非齐次方程
对于非齐次方程 $y'-\dfrac{1}{2x}y=-\dfrac{x}{2}$，使用常数变易法。设 $y=C(x)\sqrt{|x|}$，代入原方程求解 $C(x)$。将 $y$ 和 $y'$ 代入原方程，得到 $C'(x)\sqrt{|x|}=-\dfrac{x}{2}$。解这个方程得到 $C(x)=-\dfrac{x^{2}}{5}+C$，其中 $C$ 是新的积分常数。因此，$y=C\sqrt{|x|}-\dfrac{x^{3}}{5}$。