求下列已知曲线所围成的图形,按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积:-|||-(1) =(x)^2 ,x=y^2, 绕y轴;-|||-(2) =arcsin x =1 ,y=0, 绕x轴;-|||-(3) ^2+((y-5))^2=16, 绕x轴;-|||-(4)摆线 =a(t-sin t), =a(1-cos t) 的一拱, =0, 绕直线 =2a.
题目解答
答案
解析
考查要点：旋转体体积的计算，涉及不同曲线组合及旋转轴的选择，需灵活运用圆盘法或壳层法。
解题思路：
- 确定交点与积分变量：根据曲线交点确定积分上下限，选择垂直于旋转轴的变量作为积分变量。
- 选择方法：绕y轴时优先考虑壳层法，绕x轴时优先考虑圆盘法；若旋转轴非坐标轴，需平移坐标系或调整半径表达式。
- 构建积分表达式：外半径减内半径（圆盘法）或高度函数（壳层法），注意分段处理复杂图形。
关键点：
- 图形对称性：利用对称性简化积分计算。
- 参数方程处理：摆线等复杂曲线需通过参数方程转换为定积分。
第（1）题
曲线交点：联立$y=x^2$与$x=y^2$，解得交点$(0,0)$和$(1,1)$。
积分变量：选择$y$，垂直于旋转轴（y轴）。
半径表达式：
- 外半径$R(y) = \sqrt{y}$（来自$x=y^2$的反函数）。
- 内半径$r(y) = y^2$（来自$x=y^2$）。
体积公式：
$V = \pi \int_{0}^{1} \left[ (\sqrt{y})^2 - (y^2)^2 \right] dy = \pi \int_{0}^{1} (y - y^4) dy$
计算结果：
$V = \pi \left[ \frac{y^2}{2} - \frac{y^5}{5} \right]_0^1 = \frac{3}{10}\pi$
第（2）题
积分变量：选择$x$，垂直于旋转轴（x轴）。
半径表达式：外半径$R(x) = \arcsin x$，内半径$r(x) = 0$。
体积公式：
$V = \pi \int_{0}^{1} (\arcsin x)^2 dx$
分部积分：
设$u = (\arcsin x)^2$，$dv = dx$，则：
$\int (\arcsin x)^2 dx = x (\arcsin x)^2 - 2 \int \frac{x \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} dx$
进一步计算得最终结果：
$V = \frac{\pi^3}{4} - 2\pi$
第（3）题
圆方程转换：$(y-5)^2 + x^2 = 16$，解得$y = 5 \pm \sqrt{16 - x^2}$。
体积差：
外侧曲线$y = 5 + \sqrt{16 - x^2}$与内侧曲线$y = 5 - \sqrt{16 - x^2}$的体积差：
$V = \pi \int_{-4}^{4} \left[ (5 + \sqrt{16 - x^2})^2 - (5 - \sqrt{16 - x^2})^2 \right] dx$
化简积分：
$V = 20\pi \int_{-4}^{4} \sqrt{16 - x^2} dx = 160\pi^2$
第（4）题
坐标平移：绕$y=2a$旋转，等价于绕$y'=2a - y$旋转，摆线方程变为$y' = a \cos t$。
壳层法：
体积元素为$2\pi \cdot (2a - y) \cdot x'(t) dt$，积分区间$t \in [0, 2\pi]$：
$V = 2\pi \int_{0}^{2\pi} (2a - a(1 - \cos t)) \cdot a(1 - \cos t) \cdot a \sin t \, dt$
化简与计算：
$V = 8\pi^2 a^3 - \pi a^3 \int_{0}^{2\pi} (1 + \cos t - \cos^2 t - \cos^3 t) dt = 7\pi^2 a^3$