题目

lim_(x to 0) (1 - ax)^(2)/(x) = e^3，则a=A. -3B. -(3)/(2)C. -2D. (3)/(2)

$\lim_{x \to 0} (1 - ax)^{\frac{2}{x}} = e^3$，则$a=$ A. $-3$ B. $-\frac{3}{2}$ C. $-2$ D. $\frac{3}{2}$

题目解答

答案

我们来解决这个极限问题： --- ### **题目：** $$ \lim_{x \to 0} (1 - ax)^{\frac{2}{x}} = e^3 $$ 求 $ a = \ ? $ --- ### **解题思路：** 我们观察到这个极限是一个形如： $$ \lim_{x \to 0} (1 + f(x))^{g(x)} $$ 的形式。这类极限通常可以使用自然对数 $ \ln $ 来化简，或者利用已知的极限公式。 --- ### **第一步：取自然对数** 令： $$ L = \lim_{x \to 0} (1 - ax)^{\frac{2}{x}} $$ 我们对两边取自然对数： $$ \ln L = \lim_{x \to 0} \frac{2}{x} \cdot \ln(1 - ax) $$ 利用对数的泰勒展开： $$ \ln(1 - ax) \approx -ax - \frac{(ax)^2}{2} - \cdots \quad \text{（当 } x \to 0 \text{ 时）} $$ 所以： $$ \ln L = \lim_{x \to 0} \frac{2}{x} \cdot (-ax) = \lim_{x \to 0} -2a = -2a $$ 因此： $$ \ln L = -2a \Rightarrow L = e^{-2a} $$ --- ### **第二步：根据题目条件** 题目给出： $$ \lim_{x \to 0} (1 - ax)^{\frac{2}{x}} = e^3 \Rightarrow e^{-2a} = e^3 $$ 两边取对数或直接比较指数： $$ -2a = 3 \Rightarrow a = -\frac{3}{2} $$ --- ### **答案：** $$ \boxed{B. -\frac{3}{2}} $$ --- ✅ 正确选项是 **B**。

解析

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是利用自然对数的性质和已知极限公式求解参数的问题。

解题核心思路：
题目给出形如 $\lim_{x \to 0} (1 + kx)^{\frac{m}{x}} = e^n$ 的极限形式，需通过取自然对数将指数转化为线性表达式，再结合泰勒展开或已知极限公式求解参数。

破题关键点：

  1. 识别极限形式：将原式与标准极限 $\lim_{x \to 0} (1 + kx)^{\frac{1}{x}} = e^k$ 对比，通过调整指数和底数的系数建立等式。
  2. 取对数化简：通过对数将指数部分线性化，利用泰勒展开或直接代入近似值简化计算。
  3. 指数比较：通过等式两边指数相等建立方程求解参数。

步骤1：取自然对数
设原式为 $L = \lim_{x \to 0} (1 - ax)^{\frac{2}{x}}$，两边取自然对数得：
$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{2}{x} \cdot \ln(1 - ax)$

步骤2：泰勒展开近似
当 $x \to 0$ 时，$\ln(1 - ax)$ 的泰勒展开为：
$\ln(1 - ax) \approx -ax - \frac{(ax)^2}{2} - \cdots$
忽略高阶小项，近似为 $\ln(1 - ax) \approx -ax$。

步骤3：代入近似值计算极限
将近似值代入对数表达式：
$\ln L \approx \lim_{x \to 0} \frac{2}{x} \cdot (-ax) = \lim_{x \to 0} (-2a) = -2a$
因此，$L = e^{-2a}$。

步骤4：根据题意建立方程
题目给出 $L = e^3$，故有：
$e^{-2a} = e^3 \quad \Rightarrow \quad -2a = 3 \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{3}{2}$