题目

30. (3.0分) int_(0)^1e^sqrt(x)dx=____

30. (3.0分) $\int_{0}^{1}e^{\sqrt{x}}dx=$____

题目解答

答案

令 $t = \sqrt{x}$，则 $x = t^2$，$dx = 2t \, dt$。当 $x$ 从 0 到 1 时，$t$ 从 0 到 1。积分变为： \[ \int_{0}^{1}e^{\sqrt{x}}dx = 2 \int_{0}^{1}t e^t \, dt \] 使用分部积分法，设 $u = t$，$dv = e^t \, dt$，则 $du = dt$，$v = e^t$。得： \[ \int_{0}^{1}t e^t \, dt = \left[ t e^t \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1}e^t \, dt = e - (e - 1) = 1 \] 因此，原积分值为： \[ 2 \times 1 = \boxed{2} \]

解析

考查要点：本题主要考查变量替换法和分部积分法的综合应用，需要学生熟练掌握不定积分的计算技巧，并能正确处理定积分的上下限变换。

解题核心思路：

  1. 变量替换：通过令$t = \sqrt{x}$，将原积分转化为关于$t$的积分，简化被积函数的形式。
  2. 分部积分：对转化后的积分$\int t e^t \, dt$，选择适当的$u$和$dv$进行分部积分，降低积分复杂度。
  3. 上下限代入：注意变量替换后积分上下限的变化，并在分部积分后正确代入上下限计算定积分。

破题关键点：

  • 变量替换的选择：选择$t = \sqrt{x}$，使得被积函数中的$\sqrt{x}$被替换为$t$，简化表达式。
  • 分部积分的策略：将多项式部分$t$作为$u$，将$e^t$作为$dv$，从而将积分转化为更简单的形式。

步骤1：变量替换
令$t = \sqrt{x}$，则$x = t^2$，$dx = 2t \, dt$。当$x$从$0$到$1$时，$t$从$0$到$1$。原积分变为：
$\int_{0}^{1} e^{\sqrt{x}} \, dx = \int_{0}^{1} e^{t} \cdot 2t \, dt = 2 \int_{0}^{1} t e^{t} \, dt$

步骤2：分部积分
对$\int t e^{t} \, dt$，设$u = t$，$dv = e^{t} \, dt$，则$du = dt$，$v = e^{t}$。根据分部积分公式：
$\int u \, dv = uv - \int v \, du$
得：
$\int t e^{t} \, dt = t e^{t} - \int e^{t} \, dt = t e^{t} - e^{t} + C$

步骤3：代入上下限
将上下限$0$和$1$代入表达式$t e^{t} - e^{t}$：

  • 当$t = 1$时，$1 \cdot e^{1} - e^{1} = 0$；
  • 当$t = 0$时，$0 \cdot e^{0} - e^{0} = -1$。

因此，定积分结果为：
$\left[ t e^{t} - e^{t} \right]_{0}^{1} = 0 - (-1) = 1$

步骤4：计算原积分
原积分值为：
$2 \times 1 = 2$