题目

求证方程 ^x+(e)^-x+2cos x=5 恰有两个根.

题目解答

答案

解析

本题考查利用函数的单调性、极值以及极限性质来确定方程根的个数。解题的关键思路是先构造函数，通过求导判断函数的单调性和极值情况，再结合函数在无穷远处的极限值，利用零点存在定理来确定方程根的个数。

  1. 构造函数并分析其连续性：
    设$f(x)=e^{x}+e^{-x}+2\cos x - 5$，因为指数函数$y = e^{x}$，$y = e^{-x}$和余弦函数$y=\cos x$在$(-\infty,+\infty)$上都是连续的，它们的和与差构成的函数$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上也连续。
  2. 求一阶导数并分析其单调性：
    对$f(x)$求一阶导数，根据求导公式$(e^{x})^\prime=e^{x}$，$(e^{-x})^\prime=-e^{-x}$，$(\cos x)^\prime = -\sin x$，可得$f^\prime(x)=e^{x}-e^{-x}-2\sin x$。
    再对$f^\prime(x)$求导，得到$f^{\prime\prime}(x)=e^{x}+e^{-x}-2\cos x$。
    根据均值不等式$a + b\geqslant2\sqrt{ab}$（$a,b\gt0$，当且仅当$a = b$时等号成立），对于$e^{x}$和$e^{-x}$，有$e^{x}+e^{-x}\geqslant2\sqrt{e^{x}\cdot e^{-x}} = 2$，当且仅当$e^{x}=e^{-x}$即$x = 0$时等号成立。
    所以$f^{\prime\prime}(x)=e^{x}+e^{-x}-2\cos x\gt 2 - 2\cos x\geqslant0$（$x\neq0$），这表明$f^\prime(x)$在$(-\infty,+\infty)$上单调增加。
  3. 确定一阶导数的零点及正负性：
    计算$f^\prime(0)=e^{0}-e^{-0}-2\sin 0=1 - 1-0 = 0$。
    因为$f^\prime(x)$在$(-\infty,+\infty)$上单调增加，所以当$x\gt 0$时，$f^\prime(x)\gt f^\prime(0)=0$；当$x\lt 0$时，$f^\prime(x)\lt f^\prime(0)=0$。
  4. 分析原函数的单调性和极值：
    由$f^\prime(x)$的正负性可知，$f(x)$在$(-\infty,0]$上单调减少，在$[0,+\infty)$上单调增加，所以$f(x)$在$x = 0$处取得极小值，也是最小值，$f(0)=e^{0}+e^{-0}+2\cos 0 - 5=1 + 1+2 - 5=-1\lt 0$。
  5. 分析函数在无穷远处的极限：
    当$x\rightarrow\pm\infty$时，$e^{x}\rightarrow+\infty$，$e^{-x}\rightarrow0$，$\cos x$是有界函数，所以$\lim_{x\rightarrow\pm\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}(e^{x}+e^{-x}+2\cos x - 5)=+\infty$。
  6. 利用零点存在定理确定根的个数：
    因为$f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递减且$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=+\infty$，$f(0)=-1\lt 0$，根据零点存在定理，在$(-\infty,0)$内存在唯一的$x_1$，使得$f(x_1)=0$。
    又因为$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增且$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty$，$f(0)=-1\lt 0$，根据零点存在定理，在$(0,+\infty)$内存在唯一的$x_2$，使得$f(x_2)=0$。
    所以$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上有且仅有两个零点，即方程$e^{x}+e^{-x}+2\cos x = 5$恰有两个根。