[例3]当 arrow 0 时,比 ^2-sin (x)^2 高阶的无穷小是( )-|||-A. -tan x B. (ln )^3(1+(x)^3)-|||-C.sinx

本题考查无穷小阶的比较。解题思路是先确定已知无穷小$x^{2}-\sin x^{2}$的阶，再分别确定各选项无穷小的阶，最后根据高阶无穷小的定义判断哪个选项是比$x^{2}-\sin x^{2}$高阶的无穷小。

步骤一：确定$x^{2}-\sin x^{2}$的阶

当$x\to0$时，$\sin t=t-\frac{t^{3}}{3!}+\frac{t^{5}}{5!}-\cdots$，令$t = x^{2}$，则$\sin x^{2}=x^{2}-\frac{(x^{2})^{3}}{3!}+\frac{(x^{2})^{5}}{5!}-\cdots=x^{2}-\frac{x^{6}}{6}+o(x^{6})$。
所以$x^{2}-\sin x^{2}=x^{2}-(x^{2}-\frac{x^{6}}{6}+o(x^{6}))=\frac{x^{6}}{6}+o(x^{6})$，即当$x\to0$时，$x^{2}-\sin x^{2}$是$x$的$6$阶无穷小。

步骤二：分别确定各选项无穷小的阶

• 选项A：$x - \tan x$
  当$x\to0$时，$\tan x=x+\frac{x^{3}}{3}+o(x^{3})$，则$x - \tan x=x-(x+\frac{x^{3}}{3}+o(x^{3}))=-\frac{x^{3}}{3}+o(x^{3})$，即当$x\to0$时，$x - \tan x$是$x$的$3$阶无穷小。
• 选项B：$\ln^{3}(1 + x^{3})$
  当$x\to0$时，$\ln(1 + t)=t-\frac{t^{2}}{2}+\frac{t^{3}}{3}-\cdots$，令$t = x^{3}$，则$\ln(1 + x^{3})=x^{3}+o(x^{3})$。
  所以$\ln^{3}(1 + x^{3})=(x^{3}+o(x^{3}))^{3}=x^{9}+o(x^{9})$，即当$x\to0$时，$\ln^{3}(1 + x^{3})$是$x$的$9$阶无穷小。
• 选项C：$\sin x$
  当$x\to0$时，$\sin x=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\cdots$，即当$x\to0$时，$\sin x$是$x$的$1$阶无穷小。

步骤三：根据高阶无穷小的定义进行判断

若$\lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 0$，则称当$x\to x_{0}$时，$\alpha(x)$是比$\beta(x)$高阶的无穷小。
因为$9\gt{}6$，所以当$x\to0$时，$\ln^{3}(1 + x^{3})$是比$x^{2}-\sin x^{2}$高阶的无穷小。