题目

设f(x)在 (-1,1) 内可导,且 lim _(xarrow 0)dfrac (f(x))({x)^2}=1 ,则() ()-|||-B. C. lim _(xarrow 0)dfrac (f'(x))(x) 不存在.-|||-f'(0)=0 ^11(0)=2.-|||-D.f(0)是f(x)的极小值.

$\begin{aligned}&设f(x)在(-1,1)内可导,且\lim_{x\rightarrow 0} \frac {f(x) } {x^2} =1,则()\\&A.\lim_{x\rightarrow 0} \frac {f'(x) } {x} 存在.\\&B.\lim_{x\rightarrow 0} \frac {f'(x) } {x}不存在.\\&C.f' (0) =0,f'' (0) =2.\\&D.f(0)是f(x)的极小值. \end{aligned}$

题目解答

答案

$\begin{aligned} &因为\lim\limits_{x→0}\frac{f(x)}{x^2}=1，所以f(0) = 0 \\&当x\to 0时，只有f(0) = 0才能使得该极限存在且为 1 \\&由\lim\limits_{x→0}\frac{f(x)}{x^2}=1可得： \\&f(x)=x^2 + o(x^2) \\&f'(x)=2x + o(x) \\&那么\lim\limits_{x→0}\frac{f'(x)}{x}=\lim\limits_{x→0}\frac{2x + o(x)}{x}=2 ，所以\lim\limits_{x→0}\frac{f'(x)}{x}存在，\\&选项 A 正确，选项 B 错误。 \\&又因为 f'(0)=\lim\limits_{x→0}\frac{f(x) - f(0)}{x}=\lim\limits_{x→0}\frac{f(x)}{x}=0 ，且\\& f''(0)=\lim\limits_{x→0}\frac{f'(x) - f'(0)}{x}=\lim\limits_{x→0}\frac{f'(x)}{x}=2 ，选项 C 正确。 \\&由于 f'(0)=0 ， f''(0)=2>0 ，所以 f(0) 是 f(x) 的极小值，\\&选项 D 正确。 \\&综上所述，选项 A、C、D 正确。 \end{aligned}$