曲线 r = 3costheta 与 r = 1 + costheta 围成的图形面积是(）.A. piB. (1)/(4)piC. (3)/(4)piD. (5)/(4)pi

本题考查极坐标下曲线所围成图形的面积计算，解题思路是先求出两曲线的交点，确定积分区间，再根据极坐标下图形面积公式分别计算不同区间内的面积，最后将各部分面积相加得到总面积。

步骤一：求两曲线的交点

联立两曲线方程$\begin{cases}r = 3\cos\theta\\r = 1 + \cos\theta\end{cases}$，可得$3\cos\theta = 1 + \cos\theta$，移项可得$3\cos\theta - \cos\theta = 1$，即$2\cos\theta = 1$，解得$\cos\theta = \frac{1}{2}$，所以$\theta = \pm\frac{\pi}{3}$。

步骤二：确定积分区间并分析图形

两曲线的交点对应的极角为$\theta = \pm\frac{\pi}{3}$，根据图形的对称性，我们可以先计算$x$轴上方部分的面积，然后乘以$2$得到总面积。
在$[0,\frac{\pi}{3}]$区间内，$r = 1 + \cos\theta$在$r = 3\cos\theta$的外部；在$[\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}]$区间内，$r = 3\cos\theta$在$r = 1 + \cos\theta$的外部。

步骤三：根据极坐标下图形面积公式计算面积

极坐标下图形面积公式为$S = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^{2}(\theta)d\theta$。

• 计算$[0,\frac{\pi}{3}]$区间内的面积$S_1$：
  此时$r = 1 + \cos\theta$，则$S_1 = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}(1 + \cos\theta)^{2}d\theta$，展开$(1 + \cos\theta)^{2}=1 + 2\cos\theta + \cos^{2}\theta$，根据$\cos^{2}\theta = \frac{1 + \cos2\theta}{2}$，可得$(1 + \cos\theta)^{2}=1 + 2\cos\theta + \frac{1 + \cos2\theta}{2}=\frac{3}{2} + 2\cos\theta + \frac{1}{2}\cos2\theta$。
  所以$S_1 = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}(\frac{3}{2} + 2\cos\theta + \frac{1}{2}\cos2\theta)d\theta$
  $=\frac{1}{2}[\frac{3}{2}\theta + 2\sin\theta + \frac{1}{4}\sin2\theta]_{0}^{\frac{\pi}{3}}$
  $=\frac{1}{2}[(\frac{3}{2}\times\frac{\pi}{3} + 2\sin\frac{\pi}{3} + \frac{1}{4}\sin\frac{2\pi}{3}) - (0 + 0 + 0)]$
  $=\frac{1}{2}(\frac{\pi}{2} + \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{8})$
  $=\frac{\pi}{4} + \frac{9\sqrt{3}}{16}$。
• 计算$[\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}]$区间内的面积$S_2$：
  此时$r = 3\cos\theta$，则$S_2 = \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}(3\cos\theta)^{2}d\theta=\frac{9}{2}\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}\theta d\theta$，因为$\cos^{2}\theta = \frac{1 + \cos2\theta}{2}$，所以$S_2 = \frac{9}{2}\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1 + \cos2\theta}{2}d\theta$
  $=\frac{9}{4}[\theta + \frac{1}{2}\sin2\theta]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}$
  $=\frac{9}{4}[(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin\pi) - (\frac{\pi}{3} + \frac{1}{2}\sin\frac{2\pi}{3})]$
  $=\frac{9}{4}(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4})$
  $=\frac{3\pi}{8} - \frac{9\sqrt{3}}{16}$。

步骤四：计算$x$轴上方部分的面积$S_{上}$

$S_{上}=S_1 + S_2=\frac{\pi}{4} + \frac{9\sqrt{3}}{16} + \frac{3\pi}{8} - \frac{9\sqrt{3}}{16}=\frac{5\pi}{8}$。

步骤五：计算总面积$S$

由于图形关于$x$轴对称，所以总面积$S = 2S_{上}=2\times\frac{5\pi}{8}=\frac{5\pi}{4}$。