已知 =f(dfrac (3x-2)(5x+2)) ,'(x)=arctan (x)^2, 求 dfrac (dy)(dx)(|)_(x=0).

步骤 1：定义中间变量
令 $u=\dfrac {3x-2}{5x+2}$，则 $y=f(u)$。
步骤 2：求导
根据链式法则，$\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {dy}{du}\cdot \dfrac {du}{dx}$。
步骤 3：计算 $\dfrac {du}{dx}$
$\dfrac {du}{dx}=\dfrac {d}{dx}\left(\dfrac {3x-2}{5x+2}\right)=\dfrac {3(5x+2)-5(3x-2)}{{(5x+2)}^{2}}=\dfrac {15x+6-15x+10}{{(5x+2)}^{2}}=\dfrac {16}{{(5x+2)}^{2}}$。
步骤 4：计算 $\dfrac {dy}{du}$
$\dfrac {dy}{du}=f'(u)=\arctan {u}^{2}$。
步骤 5：计算 $\dfrac {dy}{dx}$
$\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {dy}{du}\cdot \dfrac {du}{dx}=\arctan {u}^{2}\cdot \dfrac {16}{{(5x+2)}^{2}}$。
步骤 6：代入 $x=0$
当 $x=0$ 时，$u=\dfrac {3(0)-2}{5(0)+2}=-1$，所以 $\dfrac {dy}{dx}{|}_{x=0}=\arctan {(-1)}^{2}\cdot \dfrac {16}{{(5(0)+2)}^{2}}=\arctan {1}\cdot \dfrac {16}{4}=\dfrac {\pi}{4}\cdot 4=\pi$。