题目
设f(x)连续,则 dfrac (d)(dx)(int )_(0)^xtf((x)^2-(t)^2)dt= ()-|||-A、xf(x^2)-|||-B、 -xf((x)^2)-|||-C、2xf(x^2)-|||-D、 -2xf((x)^2)
题目解答
答案
令：
则：
故本题选：A.
解析
步骤 1：变量替换
令 $u = x^2 - t^2$，则 $du = -2t dt$，即 $dt = -\frac{du}{2t}$。
步骤 2：积分变换
将原积分 $\int_{0}^{x} tf(x^2 - t^2) dt$ 代入变量替换后的形式，得到 $\int_{x^2}^{0} -\frac{1}{2} f(u) du$。
步骤 3：求导
对变换后的积分求导，得到 $\frac{d}{dx} \int_{x^2}^{0} -\frac{1}{2} f(u) du = -\frac{1}{2} f(x^2) \cdot 2x = xf(x^2)$。
令 $u = x^2 - t^2$，则 $du = -2t dt$，即 $dt = -\frac{du}{2t}$。
步骤 2：积分变换
将原积分 $\int_{0}^{x} tf(x^2 - t^2) dt$ 代入变量替换后的形式，得到 $\int_{x^2}^{0} -\frac{1}{2} f(u) du$。
步骤 3：求导
对变换后的积分求导，得到 $\frac{d}{dx} \int_{x^2}^{0} -\frac{1}{2} f(u) du = -\frac{1}{2} f(x^2) \cdot 2x = xf(x^2)$。