题目
5.[判断题]函数f(x,y)=(y+(1)/(3)x^3)cdot e^x+y的极小值是-e^-(1)/(3).A 对B 错A. 对B. 错
5.[判断题]
函数$f(x,y)=(y+\frac{1}{3}x^{3})\cdot e^{x+y}$的极小值是$-e^{-\frac{1}{3}}$.
A 对
B 错
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
步骤 1：求一阶偏导数
对函数$f(x,y)=(y+\frac{1}{3}x^{3})\cdot e^{x+y}$，分别对$x$和$y$求偏导数。
\[ f_x = e^{x+y} \left( y + \frac{1}{3}x^3 + x^2 \right), \quad f_y = e^{x+y} \left( 1 + y + \frac{1}{3}x^3 \right) \]
步骤 2：求驻点
令$f_x = 0$，$f_y = 0$，解得驻点$(1, -\frac{4}{3})$和$(-1, -\frac{2}{3})$。
步骤 3：求二阶偏导数并判断极值
- 对于$(1, -\frac{4}{3})$，计算得$A = 3e^{-\frac{1}{3}}$，$B = e^{-\frac{1}{3}}$，$C = e^{-\frac{1}{3}}$，满足$AC - B^2 > 0$且$A > 0$，故为极小值点。
- 极小值为$f(1, -\frac{4}{3}) = -e^{-\frac{1}{3}}$。
- 对于$(-1, -\frac{2}{3})$，计算得$AC - B^2 < 0$，非极值点。
对函数$f(x,y)=(y+\frac{1}{3}x^{3})\cdot e^{x+y}$，分别对$x$和$y$求偏导数。
\[ f_x = e^{x+y} \left( y + \frac{1}{3}x^3 + x^2 \right), \quad f_y = e^{x+y} \left( 1 + y + \frac{1}{3}x^3 \right) \]
步骤 2：求驻点
令$f_x = 0$，$f_y = 0$，解得驻点$(1, -\frac{4}{3})$和$(-1, -\frac{2}{3})$。
步骤 3：求二阶偏导数并判断极值
- 对于$(1, -\frac{4}{3})$，计算得$A = 3e^{-\frac{1}{3}}$，$B = e^{-\frac{1}{3}}$，$C = e^{-\frac{1}{3}}$，满足$AC - B^2 > 0$且$A > 0$，故为极小值点。
- 极小值为$f(1, -\frac{4}{3}) = -e^{-\frac{1}{3}}$。
- 对于$(-1, -\frac{2}{3})$，计算得$AC - B^2 < 0$，非极值点。