设 f(x) = |x - 1|, 则 f(x) 在 x = 1 处A. 连续但不可导B. 不连续也不可导C. 不连续但可导D. 连续且可导

本题考查函数在某点处的连续性与可导性的判断。解题思路是先根据函数连续性的定义判断函数在$x = 1$处是否连续，再根据函数可导性的定义判断函数在$x = 1$处是否可导。

1. 判断函数$f(x)$在$x = 1$处的连续性

函数$f(x)$在点$x_0$处连续的定义为$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$。
已知$f(x) = |x - 1|$，则$f(1)=|1 - 1| = 0$。
接下来求$\lim\limits_{x \to 1} f(x)$，需要分别计算左极限$\lim\limits_{x \to 1^-} f(x)$和右极限$\lim\limits_{x \to 1^+} f(x)$：

• 当$x \to 1^-$时，即$x\lt1$，此时$f(x)=-(x - 1)=1 - x$，则$\lim\limits_{x \to 1^-} f(x)=\lim\limits_{x \to 1^-} (1 - x)=1 - 1 = 0$。
• 当$x \to 1^+$时，即$x\gt1$，此时$f(x)=x - 1$，则$\lim\limits_{x \to 1^+} f(x)=\lim\limits_{x \to 1^+} (x - 1)=1 - 1 = 0$。
  因为$\lim\limits_{x \to 1^-} f(x)=\lim\limits_{x \to 1^+} f(x)=0$，所以$\lim\limits_{x \to 1} f(x)=0$，又因为$f(1)=0$，即$\lim\limits_{x \to 1} f(x) = f(1)$，所以函数$f(x)$在$x = 1$处连续。

2. 判断函数$f(x)$在$x = 1$处的可导性

函数$f(x)$在点$x_0$处可导的定义为$f^\prime(x_0)=\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$存在，也可通过左导数$f_-'(x_0)$和右导数$f_+'(x_0)$是否相等来判断，若$f_-'(x_0)=f_+'(x_0)$，则函数在$x_0$处可导。

• 计算左导数$f_-'(1)$：
  $f_-'(1)=\lim\limits_{x \to 1^-} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1}=\lim\limits_{x \to 1^-} \frac{|x - 1| - 0}{x - 1}$，当$x \to 1^-$时，$|x - 1|=1 - x$，则$f_-'(1)=\lim\limits_{x \to 1^-} \frac{1 - x}{x - 1}=\lim\limits_{x \to 1^-} (-1)= -1$。
• 计算右导数$f_+'(1)$：
  $f_+'(1)=\lim\limits_{x \to 1^+} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1}=\lim\limits_{x \to 1^+} \frac{|x - 1| - 0}{x - 1}$，当$x \to 1^+$时，$|x - 1|=x - 1$，则$f_+'(1)=\lim\limits_{x \to 1^+} \frac{x - 1}{x - 1}=\lim\limits_{x \to 1^+} 1 = 1$。
  因为$f_-'(1)= -1\neq f_+'(1)= 1$，所以函数$f(x)$在$x = 1$处不可导。

综上，函数$f(x)$在$x = 1$处连续但不可导。