函数 y=(x-1)^(1)/(3)在 x=1处（ ）。A. 既不连续也不可导B. 连续且可导C. 可导但不连续D. 连续但不可导

本题考查函数在某点的连续性与可导性的判断。解题思路是先判断函数在该点的连续性，再判断可导性。

1. 判断函数在 $x = 1$ 处的连续性

函数在某点连续的定义为：$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$。
对于函数 $y = (x - 1)^{\frac{1}{3}}$，当 $x = 1$ 时，$f(1)=(1 - 1)^{\frac{1}{3}} = 0$。
接下来求极限 $\lim\limits_{x \to 1} (x - 1)^{\frac{1}{3}}$，令 $t = x - 1$，当 $x \to 1$ 时，$t \to 0$，则 $\lim\limits_{x \to 1} (x - 1)^{\frac{1}{3}}=\lim\limits_{t \to 0} t^{\frac{1}{3}} = 0$。
因为 $\lim\limits_{x \to 1} (x - 1)^{\frac{1}{3}} = f(1) = 0$，所以函数 $y = (x - 1)^{\frac{1}{3}}$ 在 $x = 1$ 处连续。

2. 判断函数在 $x = 1$ 处的可导性

函数在某点可导的定义为：$f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$ 存在。
对于函数 $y = (x - 1)^{\frac{1}{3}}$，$f^\prime(1)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{((1 + \Delta x) - 1)^{\frac{1}{3}} - 0}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{(\Delta x)^{\frac{1}{3}}}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0} (\Delta x)^{-\frac{2}{3}}$。
当 $\Delta x \to 0$ 时，$(\Delta x)^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{(\Delta x)^{\frac{2}{3}}}\to +\infty$，极限不存在，所以函数 $y = (x - 1)^{\frac{1}{3}}$ 在 $x = 1$ 处不可导。

综上，函数 $y = (x - 1)^{\frac{1}{3}}$ 在 $x = 1$ 处连续但不可导。