单选题（6.3分） iintlimits_(Sigma)(xy^2+yz^2+zx^2)dS=（），其中Sigma为圆锥面z=sqrt(x^2)+y^(2)位于平面5.z=0和z=1之间的部分. A (pisqrt(2))/(5) B (pisqrt(2))/(5)

本题考查第一类曲面积分的计算，解题思路是先将曲面进行参数化，然后求出曲面元素 $dS$，再将被积函数转换为参数形式，最后进行二重积分的计算。

1. 曲面参数化：
   已知圆锥面 $z = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$，采用柱坐标进行参数化，令 $z = r$，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$。
   因为曲面位于平面 $z = 0$ 和 $z = 1$ 之间，所以 $0\leq r\leq 1$，而对于整个圆锥面，$\theta$ 的取值范围是 $0\leq\theta\leq 2\pi$。
2. 计算曲面元素 $dS$：
   对于参数方程 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$z = r$，根据曲面元素公式 $dS=\sqrt{(\frac{\partial x}{\partial r})^2+(\frac{\partial y}{\partial r})^2+(\frac{\partial z}{\partial r})^2}r drd\theta$。
   分别求偏导数：
   • $\frac{\partial x}{\partial r}=\cos\theta$，$\frac{\partial y}{\partial r}=\sin\theta$，$\frac{\partial z}{\partial r}=1$。
   • 则 $(\frac{\partial x}{\partial r})^2+(\frac{\partial y}{\partial r})^2+(\frac{\partial z}{\partial r})^2=\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta + 1$。
   • 由于 $\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta = 1$，所以 $(\frac{\partial x}{\partial r})^2+(\frac{\partial y}{\partial r})^2+(\frac{\partial z}{\partial r})^2=2$。
   • 那么 $dS=\sqrt{2}r drd\theta$。
3. 将被积函数转换为参数形式：
   把 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$z = r$ 代入被积函数 $xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}$ 中，可得：
   • $xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}=r\cos\theta\cdot(r\sin\theta)^{2}+r\sin\theta\cdot r^{2}+r\cdot(r\cos\theta)^{2}$。
   • 化简得 $xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}=r^{3}(\cos\theta\sin^{2}\theta+\sin\theta+\cos^{2}\theta)$。
4. 计算二重积分：
   $\iint\limits_{\Sigma}(xy^{2}+yz^{2}+zx^{2})dS=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r^{3}(\cos\theta\sin^{2}\theta+\sin\theta+\cos^{2}\theta)\cdot\sqrt{2}r drd\theta$。
   • 先对 $r$ 积分：$\int_{0}^{1}r^{4}dr=\left[\frac{1}{5}r^{5}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{5}$。
   • 再对 $\theta$ 积分：
     • $\int_{0}^{2\pi}(\cos\theta\sin^{2}\theta+\sin\theta+\cos^{2}\theta)d\theta=\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin^{2}\theta d\theta+\int_{0}^{2\pi}\sin\theta d\theta+\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta d\theta$。
     • 对于 $\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin^{2}\theta d\theta$，令 $u = \sin\theta$，$du=\cos\theta d\theta$，当 $\theta = 0$ 时，$u = 0$；当 $\theta = 2\pi$ 时，$u = 0$，则 $\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin^{2}\theta d\theta=\int_{0}^{0}u^{2}du = 0$。
     • 对于 $\int_{0}^{2\pi}\sin\theta d\theta=-\cos\theta\big|_{0}^{2\pi}=-( \cos2\pi-\cos0)=-(1 - 1)=0$。
     • 对于 $\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta d\theta$，根据 $\cos^{2}\theta=\frac{1 + \cos2\theta}{2}$，则 $\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta d\theta=\int_{0}^{2\pi}\frac{1+\cos2\theta}{2}d\theta=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}(1+\cos2\theta)d\theta$。
       • $\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}(1+\cos2\theta)d\theta=\frac{1}{2}\left[\theta+\frac{1}{2}\sin2\theta\right]_{0}^{2\pi}=\frac{1}{2}(2\pi+0 - 0 - 0)=\pi$。
     • 所以 $\int_{0}^{2\pi}(\cos\theta\sin^{2}\theta+\sin\theta+\cos^{2}\theta)d\theta=0 + 0+\pi=\pi$。
   • 则 $\iint\limits_{\Sigma}(xy^{2}+yz^{2}+zx^{2})dS=\sqrt{2}\times\frac{1}{5}\times\pi=\frac{\pi\sqrt{2}}{5}$。